也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
金彪
（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353） 贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m 的弹簧与物体M （视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振
动周期为k m
M T 2
2+=π。
”的结论是错误的，
并经过计算后得出：一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周
期为：k m M T 3
2+=π。
而笔者认为此结论同样是错误的，我们可
以先假设0=M ，即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得k
m T
32π
=。
这个结论是否正确
呢？总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？
设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为L
m
=
η，劲度系数为k 。
让这根弹簧两端以相同的振O P
图1
幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。
调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。
由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。
由于固体中弹性纵波的波速
ρ
Y
v =
（1）
其中Y 为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为：
S
kL
Y LS m =
=
,ρ，代入（1）式得： m
kL v 2
=
（2）
欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为：
k
m m
kL L v
T 4
42
==
=
λ
（3）
由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。
那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆，其振动速度可表示为l L
v v A
=。
”并且“弹簧的弹性势能22
1
kx ”，这两个关系式的前提都是弹簧的形
变量是均匀的。
事实上当弹簧的质量不能忽略时，弹簧的形变量是不均匀的，离固定点O 越近的地方受到的弹力越大，形变量也就越大（示意图如图2所示）。
这是该文结论为什么会错的原因。
那么“一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的‘弹簧振子’震动周期”为多少呢？
设某时刻物体M 离开其平衡位置的位移为M x ，速度为M v ，加速度为M a ；而平衡位置距O 点为l 的一小段弹簧l d 离开其平
衡位置的位移为x ，速度为v ，加速度为a 。
由于所有质点的振动都同相，则有：
M
M M x x
v v a a ==。
又由于每一段弹簧离开平衡位置
的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和，则距O 点为l 的一小段弹簧l d 的伸长量为x d ，劲度系数为l kL d ，则其弹力为l
x kL d d ⋅，质量为
L
l
m d ⋅。
其与相邻小段弹簧的弹力差，即其所受合力为
L x l
xm a L l am l x kL f M M d d d d d ==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=。
化简可得： x kL
x m a l x
M M 2
22d d = 由于M 物体振动时的M a 与M x 反向，即
M
M
x a 为负值，则根据常
微分方程的理论，上面微分方程的解可写作)sin(2
θ+-
=l kL
x m
a A x M M 。
图2
其中A 为与M 离开平衡位置的位移有关的变量，由于O 点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零，可得θ=0。
即：l kL
x m
a A x M M 2
sin -
= （4） 则每一小段弹簧的形变量为
l l kL x m
a kL x m a A x M M M M d cos d 2
2⋅-⋅-
=
相应的小段弹簧弹力为
l kL
x m a x mk a A l kL
x F M M M M 2cos d d -⋅-=⋅=
（5） 对于连接M 物体的那小段弹簧，L l =，代入（5）式得
M M M M M Ma k
x m
a x mk a A F =-⋅-
=cos （6） 当0=M 时，即没有物体M 时：
0=F
由（6）式得：
2
π=-
k x m a M M M M M x x m k
a 224ωπ-=-
= （7） k
m
T 4
2==
ω
π
（8）
得到与（3）式相同的结论。
而当0=m 时，即弹簧质量忽略。
0d d 2
2=l
x
则每一小段弹簧的形变量x d 都相等，即弹簧的形变是均匀的，此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子，其周期为k
M
T
π
2= 当00≠≠m ,M 时，由（6）式得：mk
x a A
M
k x m a M
M M M -
=-cos
（9）
由（4）得：
k
x m
a A x M M M -
=sin （10）
设M M
x a ⋅-=2ω，将之与（10）式一起代入（9）式得：
)sin()cos(
ωωωωk
m
k m m M
k m mA x M k m M ⋅=⋅= M
m k m k m =⋅ωω)tan(
（11）
上式中M 、m 、k 为定值，ω为我们所求弹簧振子的圆频率。
显然只有当
M
m
为特殊值时，该超越方程才有精确解，否则只能
是近似解。
例如：
当
0→M
m
，即0→m 时， M m
k m k m k m =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅2
)tan(ωωω。