第２６卷第５期Ｖ０１．２６Ｎｏ．５周口师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ２００９年９月Ｓｅｐ．２００９弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨周俊敏，王玉梅（周口师范学院物理系，河南周口４６６００１）摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值．关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周ｒ‘‘—？———＝７的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移．取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。
），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。
）＋ｍｇ＝一妇．由简谐图１期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆＶＫ值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及１振动的定义“质点在线性回复力的作用下，围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知，竖直放置的弹簧振子将作简谐振动．对于作简谐振动的振子来说，只有保守力作功，可以用机械能守恒定律来求运动方程．选取平衡位置为重力势能零点，振动物体重力势能为Ｅ，＝一ｍｇｘ，弹簧的弹性势能为Ｅ如＝弹簧质量对振动周期的修正系数ｃ＝÷，从理论上Ｏ证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的．１１．１忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期弹簧与地面垂直弹簧的原长为Ｌ０，劲度系数为ｋ，上端固定，下－｝ｋ（ｘ＋ｚ。
）２，振动物体动能为Ｅ，＝告，聊２，由机械能守恒定律可得端悬挂一质量为优的物体，在平衡位置时弹簧长度为Ｌ，平衡时弹簧的拉伸量为ｚ。
，如图１（ａ）所示，此时由于受力平衡，则一妇。
＋ｍｇ＝０，即如。
＝ｍｇ．将振动物体自平衡位置Ｏ向下移动一小位移至０Ｅ＝告脚２一ｍｇｘ＋寺是（ｚ＋ｚ１）２＝Ｃ１．考虑到ｋｘ。
一ｍｇ，则７（如图１（ｂ）所示），然后释放，物体将以０点为中心作往复运动．忽略各种阻力的影响，把物体视为质点，以平衡位置Ｏ为坐标原点，设竖直向下为ｚ丢舢２＋昙妇２＋百１肛２１：Ｃ１．对振动系统来说妻如；为常量，则收稿日期：２００９一０３—１２；修回日期：２００９一０７—２５基金项目：周口师范学院青年科研基金资助项目（Ｎｏ．ＺＫＮＵＱＮ２００８３２）作者简介：周俊敏（１９６５一），女，河南太康人，讲师，主要从事基础物理教学与研究．万方数据第２６卷第５期周俊敏，等：弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨５９专栅２＋丢ｂ２＝ｃｚ．两边同时对￡求－９，考虑到口＝Ｉｄｘ，整理得ｎ￡磐＋岛：０．’出２。
ｍ“‘取∥＝生，得此微分方程的解为ｚ亨Ａｃｏｓ（ｃｃ｜ｔ＋庐）．若用Ｔ表示完成一次全振动所用时间，则ｒ＝警＝２耳√詈．叫、『宠１．２弹簧与地面平行与竖直情况作类似分析，得Ｆ台＝一如，弹簧弹性势能为Ｅ，，＝专缸２，振动物体动能为Ｅｋ，＝妻脚２．对振动系统，由机械能守恒定律可得Ｅ＝丢脚２＋ｉ１妇２＝Ｃｓ．两边同时对￡求导，考虑到口＝譬，整理得ａｆ磐＋匕：ｏ．“ｄｔ２’仇“取∥：鱼，得此微分方程的解为ｚ—Ａｃｏｓ（ａ＊＋乒）．若用Ｔ表示完成一次全振动所用时间，则丁一等＝２丌√詈．∞’、『定２考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期２．１弹簧与地面垂直设弹簧质量为Ｍ，劲度系数为忌，振动物体质量为优，在平衡位置时弹簧长度为Ｌ，平衡时弹簧的拉伸量为ｚ：．此时，由于受力平衡，则一ｋ２＋ｒａｇ＋Ｍｇ一０，则妇２＝ｍｇ＋Ｍｇ．假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，从弹簧的固定点Ｐ向下取一点ｙ（取尸ｙ＝ｙ，Ｙ≤Ｌ＋ｚ），并在此处截取一小位移元ｄｙ，则警＝１万。
——ｘ’即ｙ辨：生，即ｄ：Ｌ＋２ＹｏＬ，如图２所示．振动物体重力势能为图２Ｅ＾＝一ｍｇｘ；万方数据振动物体动能为Ｅ。
＝ｉ１ｍＩ面＆ｃ）２．令Ａ＝ｆ笔，ｙ到ｙ＋ｄｙ处的动能为慨：＝虿１叫ｗ＼面ｄｙ）２＝虿１№（煮害）２，整个弹簧的动能为Ｅ。
＝ｒ；ｔｄｙ（南ｄ－一７）一ｒ面ｂ（警）２ｙ２ｄｙ＝——ｌ面Ｊ—』生一（警）２＿Ｌ－ｌ－ｘ２（Ｌ－＋－ｘ）。
Ｊ０ｙＺ‘ｄｙ一警（害）２．一百（面）‘因弹簧质心下移虿１ｚ，则弹簧的重力势能为Ｅ：一一号Ｍｇｚ，弹簧的弹性势能为％一丢志（ｚ＋ｚ：）２．将振动系统和地球作为一个整体且不考虑各种阻力影响，由机械能守恒定律得ｉ１ｍＩ面ｄｘ）２一嘲ｚ＋百ＭＩ面ｄｚ）２一Ｍｇｚ＋丢志（ｚ＋列２Ｃ４．对上式整理并对ｔ求导，得鲁＋∥ｚ：ｇ，可十旷ｚ２ｇ’’一Ｍ其中∥＝—÷丽，ｑ＝一—÷砑ｇ．１Ｈ’百１Ｈｔ百这一微分方程的解为ｚ＝Ａｃｏｓ（研＋≯）＋．暑，其中叫一，、ｆｍｋＭ一由此得Ｔ：塾：２，ｃ∞２．２弹簧与地面平行与垂直情况作类似分析，振动物体动能为Ｂ，＝虿１ｍＩ面ｃｌｘ）２，弹簧的动能为Ｂ：＝Ｍ百Ｉ面ｄｚ）２，弹簧弹性势能为Ｅ。
＝丢如２，不考虑各种阻力的影响，由机械能守恒定律得．虿１烈五ｄ：ｃ）２＋Ｍ６＼［ｄｄｘ￡，＼２＋虿１妇ｚ＝ｃ。
．６０周口师范学院学报２００９年９月两边同时求导，整理得警ｗｚ＝ｏ，其中∥＝—ｋ孺．优十了这一微分方程的解为ｚ＝Ａｃｏｓ（ａｔ＋≯），即Ｔ＝２７ｒ，从而能从理论上解释Ｃ的实验值在０．３２～０．３４这一范围之内．３）当弹簧质量远小于振动物体质量时，弹簧质量可忽略不计，则振动周期Ｔ＝２７ｒ参考文献：［１］林抒，龚振雄．普通物理实验［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８：１１９—１２６．层其中ｃｃ，＝由此得Ｔ：堑：２丌ｔＯ犀Ｉ－２］陈群宇，姚列明，霍中生，等．大学物理实验［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００８：２９１—２９２．Ｉ－３］扬述武，马葭生，贾玉民，等．普通物理实验：第１册［Ｍ３．北京：高等教育出版社，２０００：１４３—１４７．［４］吴百诗．大学物理［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，１９９４．２４４—２４５．３结论通过前面的理论分析，可以得出如下结论：Ｉ）弹簧振动系统无论是垂直或平行地面放置，［５］ＳＥＡＲＳＦＷ．大学物理［Ｍ］．郭泰运，译．北京：人民教育出版社，１９９７．其振动都是简谐振动，且具有相同的振动周期．２）弹簧质量对振动周期的修正系数为ｆ＝÷，ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｐｒｉｎｇｍａｓｓａｎｄｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒＺＨＯＵＪｕｒｌ—ｍｉｎＷＡＮＧＹｕ—ｍｅｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋｏｕ４６６００１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅｅｎｅｒｇｙ，ｉｔｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈａｔｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎｗｈｅｎｉｔｉｓｎｏｒｍａｌａｎｄｐａｒａｌｌｅｌｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｔｃａｎｃｏｍｐｌｉｅｄｂｙｔｈｅｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｔｏｔｈｅｇｒｏｕｎｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄｏｂｔａｉｎｅｄｓｅｖｅｒａｌｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｒｏｍｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｄｉｆ—ｔｏｂｅｈｅｌｐｅｄｉｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｒｉｎｇｍａｓｓ；ｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｙｃｌｅ；ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆｍｅｃｈａｎｉｃａｌｅｎｅｒｇｙ；ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎ（上接第５７页）ＴｈｅｌｏａｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅＡＣＳｓｅｒｉｅｓＡＣｓｗｉｔｃｈｅｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＺＨＯＵＺｉ—ａｎ９１，ＸＵＫｕｎｌ，ＷＡＮＧＦｕ—ｙｕａｎ２（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋｏｕ４６６００１，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００５２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＡＣＳｗｈｉｌｅｔｈｅｙａｒｅｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔＳＯｌｏａｄ，ｓａｙｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ，ｔｈｅｃｈｏｉｃｅｏｆｍａｘｉｍｕｍｓｗｉｔｃｈｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｒｉｓｉｎｇｏｆｔｈｅｄｉｅａｎｄｏｎｔｏｂｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｔｏｔｈｅｉｓｓｕｅｏｆｈａｖｉｎｇｔｏｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｂｙｔｈｅｄｅｓｉｇｎｅｒｓ．ＴｈｅｐｕｒｐｏｓｅｉｓｔｏｅｎａｂｌｅｄｅｓｉｇｎｅｒｓｔｏｍａｋｅｔｈｅｒｉｇｈｔｄｅｓｉｇｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＣａｓｅ－ｓｐｅｃｉｆｉｃ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡＣＳｓｅｒｉｅｓＡＣｓｗｉｔｃｈｅｓ；ｌｏａｄｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｍａｘｉｍｕｍｓｗｉｔｃｈｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙ万方数据弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：周俊敏，王玉梅， ZHOU Jun-min， WANG Yu-mei周口师范学院,物理系,河南,周口,466001周口师范学院学报JOURNAL OF ZHOUKOU NORMAL UNIVERSITY2009，26(5)0次参考文献(5条)1.林抒.龚振雄普通物理实验 19882.陈群宇.姚列明.霍中生大学物理实验 20083.杨述武.马葭生.贾玉民普通物理实验 20004.吴百诗大学物理 19945.SEARS F W.郭泰运大学物理 1997相似文献(10条)1.期刊论文陈美銮.李丰丽.孙玉龙用集成霍尔传感器测弹簧振子振动周期 -实验技术与管理2004,21(3)利用霍尔传感器与简谐振动实验仪测量弹簧振子振动周期,并对弹簧组有效质量进行运算,可代替传统的用气垫导轨等装置做"弹簧振子周期公式的实验总结"实验,改进了传统的实验装置和方法,减少了气源、导轨产生的噪音,操作简单,测量准确,同时使学生通过实验掌握传感器在自动测量和自动控制中的作用,有更多的时间对实验的观察和规律的理解.2.期刊论文王霞.黎爱平.吕岿.Wang Xia.Li Aiping.Lu Kui 实数编码自适应遗传算法在弹簧振子实验中的应用 -大学物理实验2007,20(1)在普通物理实验教学中,提出了用实数编码自适应遗传算法构建弹簧振子振动周期经验公式的新方法.利用遗传算法拟合弹簧振子振动周期的实验数据,不但可以得到高精度的振动周期公式,加深对物理理论的理解,而且有利于培养学生的综合研究能力和科学探索精神.3.期刊论文倪亚贤.董慎行对称非线性弹簧振子的周期特性 -大学物理2003,22(4) 通过计算机编程(Quick Basic)描绘对称非线性弹簧振子振动的特性曲线,使难懂的物理过程变得直观、形象.对称非线性弹簧振子的振动是一种周期性振动, 但不是严格的简谐振动,其振动周期随非线性系数、振幅的变化而偏离简谐振动的周期.4.期刊论文肖波齐.XIAO Bo-qi 基于Matlab的弹簧振子简谐振动研究 -陕西科技大学学报（自然科学版）2009,27(6)研究了弹簧振子的简谐振动并用Matlab处理实验数据,结果表明Matlab语言在曲线拟合方面有很大的优势,通过曲线拟合可以得到一条符合实验要求的光滑曲线,使得结果简便、直观,并精确验证了振子振动周期与振子质量呈线性关系,最后讨论并总结了简谐振动的特征.5.期刊论文梁栋.Liang Dong 弹簧振子振动周期的分析 -海南广播电视大学学报2001,2(4)弹簧振子的振动是所有机械振动中最基本也是最有代表性的振动.本文只限于对几种简单的振子系统的固有周期作些讨论,并找出影响计算振动周期的若干因素. 6.期刊论文周莹.杨燕婷.王敏.李孟亮对实验"弹簧振子振动周期经验公式总结"时间测量的改进 -中国科技信息2009,""(9)通过对传统的约利秤的结构和读数标尺进行改进,提高了测量精度一个数量级;摒弃传统的手工记录振子周期的方法,改为利用霍尔传感器测量振子周期,消除了人为造成的记录误差,减少了测量次数.据我们所知,此设计是首次将霍尔效应应用在计时的仪器设计上.最后我们根据对测量数据的计算,从误差理论上说明改进后的实验相对传统的实验误差要小一个数量级以上.7.期刊论文刘竹琴.任永康弹簧振子实验方法的改进 -延安大学学报（自然科学版）2006,25(3)采用了计算机辅助测量,对弹簧振子振动周期的实验方法进行了改进,从而提高了测量精度.8.期刊论文王晓勇.刘伟.Wang Xiaoyong.Liu Wei 双弹簧振子振动周期的实验验证-实验科学与技术2004,2(4) 文献[1]对同一个双弹簧振子的振动周期同时给出了两个答案.我们用实验的方法确定了其中只有一个是正确的.此问题的求解可作为学生的设计型实验来开设.9.期刊论文李永升.杨慧琴用圆周运动的知识来解决简谐运动的周期问题 -物理教学探讨2010,28(1)本文首先由圆周运动的知识和运动分解的知识推导出简谐运动的用期公式T=2π√m/r,再在此公式的基础上推导出弹簧振子和单拯的振动周期T=2π√m/r和T=π√L/g.10.期刊论文鄢玉霞.吕建伟.宦强.马葭生弹簧振子实验方法的运用和改进 -物理实验2001,21(6)对弹簧振子振动周期经验公式的实验拟合中所用的实验方法进行了总结,对部分实验方法和实验装置进行了改进.本文链接：/Periodical_zksfgdzkxxxb200905022.aspx 下载时间：2010年5月30日。