高三数学数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列二. 本周教学目标：1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

三. 本周知识要点： （一）数列（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ （2）通项公式：)(n f a n = （3）前n 项和：及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：（二）等差数列1. 等差数列的定义：①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2. 等差数列的判定方法：②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

3. 等差数列的通项公式：④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

该公式整理后是关于n 的一次函数。

4. 等差数列的前n 项和：⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

5. 等差中项：⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

5. 等差数列的性质：⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6. 奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）。

7. 前n 项和与通项的关系：（11）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a（三）等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

2. 等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是说，如果G 是a 与b 的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。

3. 等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。

②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

4. 等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a ，或者n m n m a a q -=。

5. 等比数列的前n 项和：①)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ②)1(11≠--=q qqa a S n n③当1=q 时，1na S n =。

当1q ≠时，前n 项和必须具备的形式：(1),(nn S A q A =-≠6. 等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时，k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列，如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++【典型例题】例1. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为 （ ）A. 67B. 57C. 37D. 17解：逐步计算，可得167a =，21251,77a =-=31031,77a =-=46,7a =51251, (77)a =-= 这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+， 所以7520=a 。

应选B 。

点评：分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色。

例2. 如图，一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动，在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。

（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。

解：（1） 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+ 5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… …2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++-＝241n -，222114n n a a n -=+=221212(21)441n n b a n n n --=--=-+， 2222244n n b a n n n =+⨯=+222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-， 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，即2n c n n =+（2）由图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过的时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒（3）由2n c n n =+≤2004，解得1n ≤≤，取最大值得n ＝44例3. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n 且S 5＝－5，S 10＝15，求数列｛nS n｝的前n 项和T n 。

解：设数列｛a n ｝的公差为d ，首项为a 1， 由已知得 5a 1＋10d ＝－5，10a 1＋45d ＝15 解得a 1＝－3，d ＝1∴S n ＝ n （－3）＋n n n n 27212)1(2-=- ∴2721-=n n S n ∵(),2127212712111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-++n n n S n S n n ∴｛n S n ｝是等差数列且首项为11S ＝－3、公差为12∴T n ＝ n ×（－3）＋2)1(-n n n n 41341212-=例4. 等比数列}{n a 中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求84a a +解：设等比数列首项为1a ，公比为q ，则⎩⎨⎧=+⇒=+⇒==+749)(441842732110216211421a a q q a q a q a q a另法：2261035844141a a a a a a ⋅+⋅=⇒+=，4848428a a a a ⋅=⇒⋅=将两式相加得 248()41849a a +=+=又因为数列}{n a 中，各项均为正数，所以84a a +＝7例5. 设数列{a n }的前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q ＝f （m ）且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥ 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+ 两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列点评：为了求数列{}n b 的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．【模拟试题】一. 选择题1. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为n8，则此人应选（ ） A. 1楼 B. 2楼 C. 3楼 D. 4楼2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则A. P ＝MSB. P ＞MSC. nM S P ⎪⎭⎫⎝⎛=2D. 2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. 数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列若a n ＝b n ，则n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 4. 在等差数列{a n }中，a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为（ ）A. m ＋nB.)(21n m + C.)(21n m - D. 05. 在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 24 D. 216. 数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ） A. 第13项 B. 第14项 C. 第15项 D. 不在此数列中7. 若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若q>1，则a n ＋1>a n B. 若0<q<1，则a n ＋1<a nC. 若q ＝1，则S n ＋1＝S nD. 若－1<q<0，则n n a a <+1二、填空题8. 数列{a n }中，a 1＝p ，a 2＝q ，a n＋2＋a n ＝2a n ＋1，则a 2n 9. 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 8＋a 9＋a 14＝70，则a 810. 在等比数列{a n }中，a 1－a 5＝－215，S 4＝－5，则a 4＝ 11. 三个正数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝62，，lga ＋lgb ＋lgc ＝3，则这三个正数为三、解答题12. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）3231,1615,87,43,21…… （2）－1，,63,51,43,31,23--……（3）3，33，333，3333，…… （4）,177,73,115,21,53…… 13. 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和 14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝n S 1，且a 3b 3＝21，S 5＋S 3＝21，求b n 。