• 2．数学机械化的意义 • （1）数学机械化与公理化一样，对于数学 的发展具有巨大的现实意义； • 数学机械化使得一些数学分支成为重要的 研究方向，甚至成为数学的主流。如今计 算机科学被认为是算法的科学。 • （2）数学机械化对于数学发展历程的认识 具有深远的历史意义。
• 二、计算数学的发展 • 计算数学也成为数值计算方法或数值分析， 是一门研究计算问题的解决方法和有关数 学理论问题的学科，其主要研究有关数学 和逻辑问题如何计算和加以有效解决。常 用的工具有：代数方程、线性代数方程组、 微分方程的数值解法，函数数值逼近法， 矩阵特征值的求法，最优化计算法，概率 统计计算法等等。
第三节 计算机引发的数学革命
• • • • 在数学方面，计算机至少有三种新的用途： 1．用来证明一些数学命题； 2．用来预测某些数学问题的可能结果； 3．用来作为一种验证某些数学问题结果的 正确性的方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• “计算机是数学的创造物，又是数学的创 造者。”总之，计算机给数学家们提供了 一种有效实验工具。计算机的发展为数学 开辟了一个新的天地，对于数学的发展具 有决定性的影响。
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• 布尔巴基学派认为整个数学或大部分数学 都可以按照结构不同加以分类，用数学结 构能统一整个数学，各个数学分支只是数 学结构有简单到复杂，有一般到特殊发展 的产物。 • 布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统 一性。
• 美国著名组合论专家认为：由于数学的不 断发展，已被许多分界线割裂得支离破碎， 我们必须尽全力填补这些鸿沟。填补这些 鸿沟的外部条件有： • 第一，数学研究规模迅速增大，数学的统 一指挥、相互交流日益扩大； • 第二，新的应用领域不断扩大，许多领域 需要数学数学家必须合作交流才能解决新 问题； • 第三，对付信息爆炸的有效工具——计算 机的产生。 • 因此对数学的统一性的研究就显得非常重 要和迫切。
• 20世纪30年代，法国的布尔巴学派发现， 利用数学内在联系和公理化方法从数学各 个分支中提炼出各种数学结构，他们认为 数学的发展无非是各种结构的建立和发展。 • 布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三 个基本结构——代数结构、序结构和拓扑 结构。然后根据不同条件，又这三个基本 结构交叉产生新的结构，如分析结构、布 尔代数结构、拓朴结构等等。
• 作为数学统一性的研究在古希腊时期就已 经存在了，人们企图把当时的两大分支算 术和几何统一起来，找到它们之间的联系 ；当数学引入变量后，牛顿和莱布尼兹发 明了微积分，出现了分析学，分析学与代 数、几何三足鼎立，构成数学的整体与核 心。最后逐步发展成研究空间形式的几何 学、研究离散系统的代数学和连续现象的 分析学三大类。数学分支愈来愈多，使数 学家对数学统一性的追求也愈来愈强烈。
数学思想方法
第四章 现代数学的发展趋势
• 随着人们社会实践的进步，数学从简单的 统一性发展到具有众多分支的学科。从认 识数学的统一性就可以理解数学应用具有 广泛的趋势；认识到数学机械化的意义与 计算机数学得以迅速发展的原因，体会到 计算机在现代数学发展中所起到的作用。
第一节 数学的统一性
• 所谓统一性，是指部分与部分、部分与整 体之间的协调一致。 • 客观世界具有统一性，数学作为描述客观 世界的语言也必然具有统一性。因此数学 的统一性是客观世界统一性的反映，是数 学中各个分支固有的内在联系的体现。
• 社会科学的数学化最早是经济学，现代数 学揭示了经济学的经济规律，促进了经济 知识的完善化。 • 数学与语言的相互渗透，产生了数理语言 这门新的交叉学科。它用数学方法来研究 语言结构和语法形式属性，使人脑与电脑 同理合作，使数学与语言融为一体。
• 社会科学的数学化已被人们所广泛接受，社 会科学是数学与社会科学相互作用、相互渗 透的进程。 • 一方面，它把数学运用于各门社会科学，从 而极大地提高社会科学研究的质量和效率， 使社会科学更加完善和更具有说服力； • 另一方面，它使社会科学与数学相结合产生 新的交叉学科，从而进一步促进数学的发展 。
• 三、新学科的发展 • 数学的发展非常迅速，出现了许多新的学 科。其中非常具有代表性的学科有分形几 何。其代表是雪花曲线。 • 分形几何学的研究离不开电子计算机，电 子计算机绘图能产生分形，把它们显示出 来。分形几何学不仅描绘大自然中诸多如 地震、海岸线等自然现象，同样在天文、 气象和工业等方面也有广泛的应用。
小结
• 现代数学的发展趋势可以从数学的统一性 、数学应用的日益广泛、计算机所引发的 数学革命等三方面来体现。 • 尽管数学分支愈来愈多，但它们的内在联 系必然呈现统一性；计算机的发展势必会 促进数学向其他各领域渗透；计算机与数 学的关系从对数学的依赖发展到能触发数 学自身的革命。
第二节 数学的应用日益广泛
• 现代科学发展的一个显著特点是： • 自然科学、技术科学以及社会科学都普遍 地处于数学化的过程之中，它们都在朝着 愈来愈精确的方向发展。电子计算机的发 展和应用，为各门科学的数学化提供了可 能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。 •
• 一、自然科学的数学化 • 众所周知，数学是自然科学的基础，自然 科学的研究离不开数学。 • 自然科学研究存在两种方式： 定性研究和 定量研究。 • 随着电子计算机的迅速发展和日益广泛的 应用，人们已经能处理越来越复杂的现象， 数学已成为则可选的强有力的工具。现代 科学技术发展的一个重要趋势之一，就是 各门科学的数学化。这种数学化已获得丰 硕的成果。
• 一、数学机械化 • 1．数学机械化的产生与发展 • 数学的脑力劳动有两种主要形式：定理证明 和数值计算。 • 数学问题的机械化是指要求在运算或证明过 程中，每前进一步之后，都有确定的、必然 选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻 板的道路，一直达到结论。 • 英国数学家乔治．布尔把逻辑简化成一种代 数，用一些符号那逻辑推理形式化，创立了 布尔代数。这可看作是数学机械化的起步。
• 二、社会科学的数学化 • 所谓社会科学数学化，就是指数学向社会 科学的渗透，即运用数学方法来揭示社会 现象的一般规律。 • 从整个科学发展趋势来看，社会科学的数 学化也有必然的趋势，其主要原因可以归 结为以下四个方面： • 1．社会管理需要精确化，这是促进社会科 学数学化的最根本的因素；
• 2．社会科学的各分支逐步走向成熟，社会 科学理论体系的发展也需要精确化； • 3．随着数学的进一步发展，它出现了一些 适合研究社会历史现象的新的数学分支， 如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻 辑、系统论、信息论、控制论、突变论等 等，都为社会科学数学化提供了有力的武 器。 • 4．电子计算机的发展与应用，使非常复杂 社会现象经过量化后可以进行数值处理。