专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ， 综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

答案：90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。

性质：（1）∠ABF=90°（2）假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。

（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

变式(2): 椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e =215- ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：22b a r ab +⋅=，但cr =4，设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。

解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆范围。

由→→⊥P F P F 21得222c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2222222b a b a c a x --=2222)(ea c a -=。

由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以122[e ∈。

附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。

由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=，又因为︒=∠9021PF F ，可得222122214||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2221c a PF PF -=22b =，1PF ∴，2PF 是方程02222=+-b az z 的两个根，则22210)(84222222≥⇒≥=⇒≥--=∆e ac e c a a 解法3：正弦定理设记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin sin ||||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++⇒︒==βααβ 又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，，且90=+βα 则 20πα<< 4344ππαπ<+<∴则1)4sin(22≤+<πα，2)4sin(21≤+<πα 所以122<≤e 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+||||平方后得 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ，故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222变式(1)：圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P 212sin F PF PF ∠=根据和比性质：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜ sinF 1F 2P+sin PF 1F 2 变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 a c22==e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2变式(2)：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求椭圆离心率e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°sin α+sin(120°-α)=1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变式(3)：过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的值解析：因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而得3c e a ==变式(4)：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。

{136<≤e } 变式(5)：8、椭圆()012222>>=+b a b y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,12ππα，则椭圆的离心率的取值范围为解析：设F '为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形F AFB '为平行四边形且为矩形，c AB 2=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==，a c c 2cos 2sin 2=+αα，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==4sin 21cos sin 1παααa c e ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,12ππα得3622≤≤e 。

6，如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .直线21B A 的方程为1=+-b y a x ，直线F B 1的方程为1=-+byc x ，两式联立得T的坐标⎪⎭⎫⎝⎛-+-c a c a b c a ac )(,2，所以中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-)(2)(,c a c a b c a ac ，因为点M 在椭圆上，代人方程得()2224)(4c a c a c -=++ 则03102=-+e e ()1,0∈e所以5e =-7，椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e的取值范围？→MF 1·→MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。