∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求 e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 ｜F1F2｜ ｜F1P｜ ｜PF2｜
解：由正弦定理：sin F1PF2 = sin F1F2P = sin PF1F2 根据和比性质： ｜F1F2｜ ｜F1P｜ + ｜PF2｜
sin F1PF2= sinF1F2P + sin PF1F2
A B
F
F
1
2
思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2 分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜= 3c
c c+ 3c=2a ∴e= a= 3-1
x2 y2 变形 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角
椭圆离心率的解法
一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆 上，PD⊥L 于 D，QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则
｜PF｜ ｜QF｜ ｜AO｜ ｜AF｜ ｜FO｜ ①e=｜PD｜②e=｜BF｜③e=｜BO｜④e=｜BA｜⑤e=｜AO｜
变形 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且
∠F1PF2 =60°，求 e 的取值范围？
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α
sin F1PF2
sin60°
e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sin(120° - α)=
P
F
F
O
2
O
1
F
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形，求椭圆离心率？
2 O
解：连接 PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜FOP｜,∠F1OPF2 =90°图形如上图，e= 3-1
22 O
x2 y2
O
变形 2: 椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、OF2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，
且 PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ O
O
O
O
B
P
O
O
A
F
F
O
O
1
2
O
O
O
O
b2 解：∵｜PF1｜= a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a
｜PF1｜ b PF2 ∥AB ∴｜F2 F1｜= a 又 ∵b= a2 - c2
∴a2=5c2 e=
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程 式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角
形公式，列出有关 e 的方程式。 x2 y2
题目 3：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点， 若｜F1A｜=2｜BF1｜,求 e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
1
1
1
2sin(α + 30°)≥2 ∴2≤e<1 x2 y2
变形 2：已知椭圆 4 + 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长
1α
β1
轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β 若3<tan 2 < tan 2 <2,求 e 的取值范围？
分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
｜F1F2｜
sin F1PF2
变形得： ｜PF2｜ + ｜F1P｜ =sin F1F2P + sin PF1F2= 2c
=2a=e
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° sin90°
e=sin75° + sin15° =
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 sin F1PF2
e=sin F1F2P + sin PF1F2 x2 y2
e2+e-1=0 e=
e= (舍去)
x2 y2
变形：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，e= 求∠ABF？
, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90°
引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间
sin F1PF2
sin(α + β)
解;根据上题结论 e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sinβ = =
= =e
11-e1
11
∵3<1 + e<2 ∴3<e<2 三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找 e 所符合的关系式. x2 y2
题目 5：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，斜率为 1，且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，
→OA →OB →a OA +OB 与a =(3,-1)共线，求 e?
{ ) a2 –c2 = m(2a - c)
：2a - c
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得： 2(a2 - c2) = m(2a + c) 两式相除 2a + c
12
=2 e=3
x2 y2
题目 4：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直 径的圆与椭圆的一个交点，且
x2 y2 题目 2：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点， ∠ABF=90°，求 e?
B A
O F
解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= a2 + b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2
P D
Q
BA
F
O
B
B
B
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 a2
∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= c ∴有③。 x2 y2
题目 1：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰 好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？