则直线的方向向量为，平面的法向量为，向量与向量间的夹角为，于 是,所以
== . 由此可知：∥⊥⊥. ①⊥ ; ②∥⊥ ; ③∥ . 12. 曲面方程 如果曲面∑上每一点的坐标都满足方程，而不在曲面∑上的每一点 坐标都不满足方程，则称方程为曲面方程，称曲面∑为的图形. 13. 柱面 直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的 准线，动直线称为柱面的母线. 如果柱面的准线在坐标面上的方程为,那么以为准线，母线平行于轴 的柱面方程就是；同样地，方程表示母线平行于轴的柱面方程；方程表 示母线平行于轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个 变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴.
故所求平面为 ， 即. 例5 求过点且垂直于直线的平面方程. 解 已知直线的方向向量为==, 由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量，即=， 由点法式得平面方程 ，即 . 例6 求通过点且与直线垂直相交的直线方程. 解 利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方 向向量.为此先求出过点且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直 线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量，即可 得到所求的直线方程.其步骤如下： (i)过点垂直于已知直线的平面方程为 ，即 . (ii)求上述平面与直线的交点，为此令 =， , , ， 将上述参数方程代入平面中，有 ，得 = , 所以 , , =，即 , 所以 , 写出所求直线方程。由于直线过点，故所求直线方程为 ， 即. 例7 求过点且与两平面：和：平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为，，， 因为所求直线与,平行，所以,, 取====, 故所求直线的方程为 . 小结 求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键是求 出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉积的运 算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种，读者可 灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方程或直线 方程.
==. 由题设，得=2 ， ，,
从而得 =，或 =. 2． 建立平面方程与直线方程的方法
例3 求平行于轴，且过点与的平面方程. 解一因为平面过点与，所以必有.于是，取=, 而={2，7，4} ，所以 ==， 因此，由平面的点法式方程，得，即 . 解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 ,
2 向量与数的乘法运算 实数与向量的乘积是一个向量，称为向量与数的乘积，记作，并且 规定： ①； ②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； ③当时，是零向量. 设都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：； 分配律： , (+)=+. 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算. ⑶ 求与同向的单位向量的方法 设向量是一个非零向量，则与同 向的单位向量 . ⑷ 负向量 当时，记(-1)=-，则-与的方向相反，模相等，-称为向 量的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 -= +(-1) . 向量的减法也可按三角形法则进行，只要把与的起点放在一起，-即 是以的终点为起点，以的终点为终点的向量. 4. 向量的坐标表示 ⑴ 基本单位向量 ,,分别为与轴,轴,轴同向的单位向量.
至少有一个不为零）. ⑶两个平面的位置关系 设两个平面的方程分别为
其法向量分别为=，=，有如下结论： ①⊥ ②∥∥； ③. （4）平面的夹角，即为两个平面法向量夹角，其公式为 =. （5）点到平面的距离公式为 . 10. 直线方程 ⑴如果一个非零向量平行于直线,则称为直线的方向向量. ⑵直线的标准式方程 设直线过点且以为方向向量,则直线的标准式
⑵ 向径的坐标表示 点的向径的坐标表达式为=或简记为 =.
⑶的坐标表示 设以为起点,以为终点的向 的坐标表达式为
=. ⑷ 向量的模 =. 5. 坐标表示下的向量的线性运算 设，，则有 （1）； （2）； （3）. 6. 向量的数量积
⑴定义 设向量之间的夹角为，则称为向量的数 量积，记作·，即 ·=.
二、主要解题方法
1．向量的运算 例1 设向量=44+7的终点的坐标为(2,1,7).求 (1)始点的坐标；(2)向量 的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量. 解 （1）设始点的坐标为 ，则有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ; (2) =9; (3) cos= , cos , cos ; (4) o==(44+7). 例2 已知向量与向量=及轴垂直，且，求出向量. 解 因为，（垂直于轴），故与向量平行.由两向量平行的充要条件， 可写成，即
×=. 可将×表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行 展开即可.即
×=. 8.三个重要结论 ⑴; ⑵⊥0; ⑶∥=. 其中，“”表示“充分必要条件”． ９.平面方程 ⑴平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于平面，则称此向量为该平面的法向量. 过点，以=为法向量的点法式平面方程为
至少有一个不为零）. ⑵平面的一般式方程 以=为法向量的一般式平面方程为
. ⑵ 圆柱面方程 设一个圆柱面的母线平行于轴，准线是在坐标面上的以原点为圆 心，为 半径的圆，即准线在坐标面上的方程为，其圆柱面方程为
. ⑶ 锥面方程 顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面方程为
. ⑷ 椭圆抛物面方程 椭圆抛物面方程为
, 当时，原方程化为，它由抛物线绕轴旋转而成，称为旋转抛物面. ⑸ 椭球面方程 椭球面方程为
方程(也称为点向式方程)为 .
⑶ 直线的参数方程 设直线过点且以为方向向量,则直线的参数方程 为
其中为参数. ⑷ 直线的一般式方程 若直线作为平面和平面
的交线，则该直线的一般式方程为 其中{}与{}不成比例.
⑸ 两条直线的位置关系 设直线的标准方程分别为
其方向向量分别为则有 ①∥； ②⊥⊥. 11．直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角，称为直线与平面的夹角. 设直线的方程分别为
向量的数量积又称“点积”或“内积”. 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：·= ·； 分配律：(+)·= ·+·； 结合律：(·)=()· .
2 数量积的坐标表示 设，,则·=.
⑶ 向量与的夹角余弦 设，,则
=. ⑷ 向量的方向余弦
设 向 量 与 轴 , 轴 , 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 ,称其为 向量的三个方向角，并称 ,,为的方向余弦，向量的方向余弦的坐标表 示为
2. 向量的基本概念 ⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量． ⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用或表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. ⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量. ⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量. ⑺向径 终点为的向量称为点的向径,记为. 3. 向量的线性运算 ⑴ 向量的加法 ① 三角形法则 若将向量的终点与向量的起点放在一起，则以的 起点为起点，以的终点为终点的向量称为向量与的和向量，记为.这种 求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. ② 平行四边形法则 将两个向量和的起点放在一起，并以和为邻 边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方 法称为向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足下列运算律. 交换律：=； 结合律：（）+=+（+）.
3． 求旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影的方法 例8 求由椭圆绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程. 解 在方程中把换成，得所求方程为 ， 这是一个旋转椭球面. 例9 求空间曲线在面上的投影曲线方程. 解 将所给曲线方程组中消去，就得到包含曲线的投影柱面方程.由于 此方程组中的第二个方程不包含有，所以包含曲线的投影柱面方程就是 .因此，投影柱面与面的交线为 故曲线在面的投影曲线方程为 例10 求曲线在坐标面上的投影曲线方程. 解 消去得, 这是圆柱面的方程，所以在面上的投影曲线的方程为 ，
由于平面平行于轴，所以 ，原方程变为，又所求平面过点(1, 5, 1) 与(3 , 2, 3)，将的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所 求平面方程为 .
例4 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与平面成角的平面的方程. 解 设所求平面方程为 ，
平面过点(3, 0, 0)，有 , 即 ， ① 平面过点(0, 0, 1), 有 , 即 ， ② 又,平面与面成角，有 ==，③ 即， 解 ①②③得 =,
第九章 空间解析几何
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求 1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向 角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向 量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方 程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概 念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐 标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点 向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念， 用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平 面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴 为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影. 难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向 量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面 的方程画出空间图形. （二）内容提要 1. 空间直角坐标系 在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点，这三条数轴分别称为 轴、轴和轴，一般是把放置在水平面上，轴垂直于水平面.轴的正向按 下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向轴的正向，这时大拇指 所指的方向就是轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空 间直角坐标系.在此空间直角坐标系中，轴称为横轴，轴称为纵轴，轴 称为竖轴，称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐 标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面，坐标面。 这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限. 在空间直角坐标系中建立了空间的一点与一组有序数之间的一一对 应关系。有序数组称为点的坐标；分别称为坐标，坐标，坐标.