z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t， u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时， = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))
dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
z = f [ ( x, y),ψ ( x, y),ω( x, y)] 在对应点 ( x , y )
的两个偏导数存在， 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 z z u z v z w = + + u x u x v x w x z z u z v z w z v = + + y u y v y w y w
u
x
z
v
y
z z u z v = + . y u y v y
链式法则的规律： 链式法则的规律： “连线相乘，分线相加” 连线相乘，分线相加”
例 2 设 z = e sin v ，而 u = xy ， v = x + y ，
u
z z 求 和 . x y
解
= e u sin v y + e u cos v 1
du dt
( u, v ) 有连续偏导数， 有连续偏导数， 故可微， 故可微，即
dv dt
=
o( ρ )
ρ
dz z z du z dv △t＜0 时, ＜ ∴ = lim = + . 取 “ –”号 dt t → 0 t u dt v dt
dz 可导， 其中 ( t )可导，求 . dt dz z dx z dy 解 = + dt x dt y dt z dx z dy = + x dt y dt
不相同. 不相同.
u v x x
z
等式左端的z是作为一个自变量 的函数 等式左端的 是作为一个自变量x的函数， 是作为一个自变量 的函数，
的三元函数， 而等式右端最后一项 f 是作为u , v , x 的三元函数，
写出来为
dz dx
x
f = u
f du ( u ,v , x ) x + v dx
dv ( u ,v , x ) dx
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分 具有连续偏导数，
z z dz = dx + dy x y
z u z v z u z v = + dx + + dy u x v x u y v y
z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y z z = du + dv . u v
z
u v w
t
称为全导数 全导数. 称为全导数.
dz 以上公式中的导数 dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 上定理还可推广到 而是多元函数的情况： 而是多元函数的情况： 如果 u = ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y ) 都在点 ( x , y ) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z = f ( u, v ) 和 的偏导数， 具有连续偏导数， 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏导数， 则复合函数 z = f [ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点
解 令 u = x + y + z , v = xyz;
w 2 w 连续偏导数， 连续偏导数，求 和 . x xz
w = x =
f u f v + u x v x
x w
2
u v
f ( u, v ) f ( u , v ) ′′ , 记 f1′ = , f12 = u v u
f1′ + yzf 2′;
x
y
3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况： 3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况： 中间变量即有一元函数
z = f ( u, x , y ) 其中 u = ( x , y ) 即 z = f [ ( x , y ), x , y ],
z f u f = + , x u x x
( x , y )的两个偏导数存在,且可用下列公式计算: 的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:
z z u z v z z u z v , = + = + x u x v x y u y v y
z = f [ ( x , y ),ψ ( x , y )]
复合结构如图示
z z u z v = + , x u x v x
dz z du z dv z 解 = + + dt u dt v dt t
dz 求全导数 . dt
z
u v t
t
= ve u sin t + cos t t t = e cos t e sin t + cos t
t
= e (cos t sin t ) + cos t .
t
例 4 设 w = f ( x + y + z , xyz ) ， f 具有二阶
2
二、全微分形式不变性
z z dz = du + dv ;当u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 当 u v z z dx + dy . 时，有dz = x y
全微分形式不变性的实质： 全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量 的函数或中间变量 无论 是自变量x,y的函数或中间变量 是自变量 的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的
x
f + x
( u ,v , x )
.
作业
p.30 习题 习题8-4 2; 4; 5; 8; 9; 11; 12.(1);(3).
z z u z v = + x u x v x
u
u
x
= e ( y sin v + cos v ),
z
v
u
= e sin v x + e cos v 1 = e ( x sin v + cos v ).
u u
z z u z v = + y u y v y
y
“ 链式法则的规律： 连线相乘，分线相加” 链式法则的规律： 连线相乘，分线相加” 设 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), w = ω ( x , y ) z 具有偏导数， 都在点 ( x , y ) 具有偏导数， = f ( u, v , w ) 在 对应点 ( u, v , w ) 具有连续偏导数， 则复合函数 具有连续偏导数，
第四节 多元复合函数求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
一、链式法则
定理
一元复合函数 求导法则
可导， 如果函数 u = ( t ) 及 v = ψ (t ) 都在点 t 可导， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏导数， 具有连续偏导数， 可导， 则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )] 在对应点 t 可导， 且其导数可用下列公式计算
dz 求 . dx
= ψ ( x)
u
dz f du f dv f = + + dx u dx v dx x
z
v x
x
dz f 是否相同？为什么？ 试问 与 是否相同？为什么？ dx x
z = f ( u, v , x ), u = ( x ), v = ψ ( x )
dz f du f dv f = + + dx u dx v dx x
dz = (e cosv y e sinv)dx + (e cosv x e sinv)dy z z xy dz = dx + dy = e [ ycos( x + y) sin( x + y)]dx x y
u u u u
比较
+ e [ x cos( x + y ) sin( x + y )]dy