复合函数的求导法则:
一 般 地 ， 设 函 数 u = ϕ ( x )在 点 x处 有 导 数 u
' = ϕ '( x ),
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量f(u) 的导数,乘以中间变量 u = ϕ ( x ) 对自变量的导数.
注意： 1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
y = log a x ( a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = sin x
Title
y ′ = cos x
y′ = − sin x
y′ = 1 cos 2 x
1 sin 2 x
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y = cos x
y = tan x
y = cot x
y′ = −
2.导数的四则运算法则： 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
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练习1 练习
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y = sin 2 x； (2) y = 3x + x + 1； (3) y = cos(sin x)；
2
y = sin u ,
y = u,
y = cos u ,
u = 2x
u = 3x 2 + x + 1
u = sin x
(4) y = (a + bx n ) m； 1 (5) y = sin(1 − ). x
y' =
x cos x − x sin x 2x
cos x sin 2 x
y' = −
y ' = 3x 2 −
3 x x cos x − sin x + 3 2x x 2 20:30:35
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对 于 函 数 y = f (ϕ ( x )), 令 u = ϕ ( x ), 若 y = f ( u ) 是 中 间 变 量 u的 函 数 ， u = ϕ ( x ) 是 自 变 量 x的 函 数 ， 则 称 y = f (ϕ ( x )) 是 自 变 量 x 的 复 合 函 数 .
1)
2)
(u ( x ) ± v ( x )) ' = u '( x ) ± v '( x )
(u ( x) ⋅ v ( x)) ' = u '( x)v( x) + u ( x )v '( x)
推论：[c f(x)]’ = c f’(x)
3) ′ u ( x) u '( x)v( x) − u ( x)v '( x) = 2 v ( x) v( x)
yห้องสมุดไป่ตู้u ,
m
u = a + bx .
n
y = sin u ,
1 u = 1− x
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① y x = y =[(3x− 2) ]' = (9x −12x + 4) =18x −12
'
'
2
问题： 如何求 y = (3 x − 2 ) 2 的导数？
2 '
y ② 其实， = (3x −2) 是一个复合函数，
2
由 y=u
2
与 u = 3 x − 2 复合而成.
′ yu =
2u
=
6 x − 4 ; u′x =
′ x y = y = yu ⋅ u ′
' ' x
3 ;
' x
′ x 分析三个函数解析式以及导数 y u , u ′ , y
之间的关系:
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2.复合函数的导数:
x 函 数 y = f ( u ) 在 点 x 对 应 u 处 有 导 数 y ' = f '( u ), 则 复 合 u 函 数 y = f (ϕ ( x )) 在 点 x 处 也 有 导 数 ， 且 y ' = y '⋅ u ' ， x u x 或 写 作 [ f (ϕ ( x )) ] x ' = f '( u )ϕ '( x ).
简单复合函数的 求导法则
紫阳中学 张茂毅
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知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y = c(c是常数）
y = xα (α为实数）
y = a x (a > 0, a ≠ 1)
y′ = 0
y ′ = α x α −1
y′ = a x ln a
y=e
x
y′ = e x
y′ = 1 x ln a 1 y′ = x
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求下列函数的导数.
(1) y = (2 x − 1) ；
5
( 2 ) y = ln (5 x + 1) ；
1 (3 ) y = ； 3x −1
( 4 ) y = co s(1 − 2 x )；
(5) y =
5
x ； 1− x
练习：P51，练习。
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课前练习：
1 1 1. y = x( x + + 2 ), 求y '； x x x x 2. y = x − sin cos , 求y '； 2 2
2
1 y ' = 2x + 2 x
2
1 y ' = 1 − cos x 2
3. y = x cos( − x), 求y '；
1 4. y = , 求 y '； sin x 5 x + x + x sin x 5. y = , 求 y '. 2 x