l/2
F Me
A
C
B
1
2
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
δ1
Fl 3 48EI
Mel 2 16EI
δ2
θ
Fl 2 16EI
Mel 3EI
梁的变形能为
U
1 2 Fδ1
1 2
Meδ2
1 EI
F 2l3 (
96
Me2l 6
MeFl 2 ) 16
点名
先加力 F 后，再加力偶 Me
先加力 F后，C 点的位移
(Chapter Thirteen) (Energy Method)
点名
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 单位荷载法 • 莫尔定理 (Unit-load method & mohr’s theorem) §13-5 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for mohr’s integration)
横力弯曲 (nonuniform bending )
U
M
2 e
(
x
)dx
l 2EI ( x)
点名
4、组合变形的变形能（Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立， 力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功.
U FN2( x) dx T 2( x) dx M 2( x)dx
3
F2
一广义位移，例如 2可表示为
B
B' F3
C
δ2 C1F1 C2F2 C3F3
F2 (C1
F1 F2
C2
C3
F3 F2
)
F1
1
2
C1F1，C2F2，C3F3 分别表示力 F1 , F2,
A
F3 在 C 点引起的竖向位移.
C1，C2，C3 是比例常数. 在比例加载时 F1/F2和 F3/F2 也是常数
点名
§13-2 杆件变形能的计算
( Calculation of strain energy for various
types of loading )
一、杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading )
1、轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads)
(
FRsin
)2
Rd
πF 2R3
0 2EI
8EI A
F
R
θ
O
W
1F 2
ΔBV
由 U=W 得
ΔBV
πFR3 4EI
点名
例题4 拉杆在线弹性范围内工作. 抗拉刚度 EI ，受到F1和F2 两个力作用.
(1) 若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ；
(2) 若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截面加 F1.
U T 2( x) dx
l 2GIp ( x)
或
n
U
Tn2i li
i1 2Gi Ipi
点名
3、 弯曲变形的变形能
Me
（Strain energy for flexural loads)
θ
纯弯曲（pure bending ) Me
Me
Me
U
W
1 2 Me θ
1 2 Me
Mel EI
Me2l 2EI
δ1
Fl 3 48EI
l/2
l/2
F
A
C
B
1
力 F 所作的功为
W
1 2
Fδ1
1F 2
Fl 3 48EI
力偶由零增至最后值 Me
B 截面的转角为 θ Mel 3EI
l/2
l/2
F Me
A
C
B
力偶
Me 所作的功为 W2
1 2
Meθ
1 2
Me
Mel 3EI
C截面的位移为
δ3
Mel 2 16EI
先加上的力F所作的功为
U
W
1 FΔl 2
1 2 FNΔl
Δl Fl FNl EA EA
U F 2l FN2l 2EA 2EA
当轴力或截面发生变化时：
U n FN2i Li i1 2Ei Ai
点名
当轴力或截面连续变化时：U l FN2( x)dx
0 2EA( x)
▼
比能 （ Strain energy density) ： 单位体积的应变能. 记作u
1 2
F2δC2
F22(a 2EA
b)
A
a
B
F1
b C
F2
点名
在加F2 后，B截面又有位移
δB2
F2a EA
在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）
W3
F1δB2
F1F2a EA
所以应变能为
A
a
B
F1
b C
U
W
1 2
F1δB1
1 2 F2δC2
F1δB2
F2
F12a F22(a b) F1F2a
1、计算变形能(Calculating strain energy)
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
点名
例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的
挠度. F
解：
A
B
M(x) F x
x
l
U M 2( x)dx l (Fx)2dx F 2l 3
F1
couple)
1
2
δ--广义位移
C' (generalized displacement)
A
包括线位移和角位移
(include normal displacement &angular displacement)
点名
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义
位移也由零增致最后值. 对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任
F 2a2 2EIl 2
b3 3
F 2a2b2 6EIl
F
B
C
x2
b l
W
1F 2
vC
由 U=W 得
Fa 2b 2 vC 3EIl
点名
例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B
截面的垂直位移. 已知EI 为常量.
B
解： M( ) FRsin
U M 2( ) Rd
l 2EI
π 2
点名
§13-1 概述（Introduction)
一、能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
二、外力功（Work of the external force)
固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功.
u
U
1 2
FΔl
1
σε
V Al 2
σ Eε
u 1 σε σ 2 Eε2 （单位 J/m3) 2 2E 2
点名
2、扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads)
Me
Me
Me
l
U
W
1 2
M
e
Δ
1 2 Me
Mel GIp
Me2l 2GIp
T 2l 2GIp
分别计算两种加力方法拉杆的应变能.
A
a
B
F1
b C
F2
点名
(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2 在 B 截面加 F1， B截面的位移为
δB1
F1a EA
外力作功为
W1
1 2
F1δB1
F12a 2EA
再在C上加 F2
C截面的位移为
δC2
F2(a b) 2EA
F2 作功为
W2
F1
b C
所以应变能为
F2
1
1
U W 2 F1δB1 2 F2δC2 F1δB2
F12a F22(a b) F1F2a
2EA 2EA
EA
点名
注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别. (2) 应变能 U只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载
次序无关.
点名
l/2
The formula:
U=W
（Work-Energy Principle)
We will not consider other forms of energy such as thermal energy, chemical energy, and electromagnetic energy. Therefore, if the stresses in a body do not exceed the elastic limit, all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.