试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅. 线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð2. 已知11a bi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i图1俯视图正视图3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4. 直线0x -=截圆()2224x y-+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C .23D .136. 函数()()y x x x x sin cos sin cos =+-是 A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2x x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+- 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m 一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A ．8 km/hB ．km/hC ．D ．10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）图3C9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x cos ⎰d x = .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23y x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）． 12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x fx x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 .13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D 若3B C =，165A D =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周 期为8.图4ABC A 1C 1B 1DE （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1C C ，A B 的中点.（1）求证：C E ∥平面1A B D ；（2）若H 为1A B 上的动点，当C H 与平面1A AB 2时，求平面1A B D 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S nn +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21fx x a x m =+++，关于x 的不等式()()2211fx m x m<-+- 的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1fx g x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x gxn (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或72 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ………4分(4)2sin 2sin 44f π=+=-= ⎪⎝⎭ ………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===………8分∴((222222cos 23O PO QPQPO Q O P O Q+-+-∠===. …10分∴POQ sin ∠==3………11分∴△POQ 的面积为11223S O P O Q PO Q sin =∠=⨯⨯⨯=.………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……5分∴(4,P Q . （苏元高考吧： ）∴(2,(4,O P O Q ==. ……8分∴cos cos ,3O P O QPO Q O P O Q O P O Q⋅∠=<>===……10分∴POQ sin ∠==3. ………11分∴△POQ 的面积为11223S O P O Q PO Q sin =∠=⨯⨯⨯=.……12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……4分(4)2sin 2sin 44f π=+=-= ⎪⎝⎭ ……5分∴(4,P Q .∴直线O P 的方程为2y x =，即0x -=. ……7分∴点Q 到直线O P 的距离为d ==. ……9分∵OP = ……11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=. ……12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. ……3分（2）由题意知()()()()1101124P P A BCm n ξ===--=， ……4分()()113224P P ABC mn ξ====， ……5分整理得 112m n =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……7分（3）由题意知()()()()1a P P A BCP ABC P A BC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n=--+-+-=， …9分H FABC A 1C 1B 1DE(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.……12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交A C 的延长线于点F ，连接B F . ∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴C 为A F 的中点. ……2分 ∵E 为A B 的中点，∴C E ∥B F . ……3分∵B F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . ……4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，C E ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥C E . ……5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E AB ⊥，2C E AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴C E ⊥平面1A AB . ……6分 ∴E H C ∠为C H 与平面1A AB 所成的角. ……7分∵C E =在R t △C E H 中，tan C E EH C EHEH∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……8分A ∴当1EH AB ⊥时，E HC ∠最大. 此时，tan C E EH C EHEH∠===2.∴5E H =. ……9分∵C E ∥B F ，C E ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥A B ，BF ⊥1A B . ……11分 ∴1A B A ∠为平面1A B D 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……12分在R t △EH B中，BH ==5，cos 1A B A∠5BH EB== (13)分∴平面1A B D 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接D F 、E F .∵E 为A B 的中点， ∴E F ∥1A A ，且112EF AA =. ……1分∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴E F ∥C D ，E F =C D . ……2分 ∴四边形E F D C 是平行四边形.∴C E ∥D F . ……3分 ∵D F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . （苏元高考吧： ） ……4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，C E ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥C E . ……5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E AB ⊥，2C E AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴C E ⊥平面1A AB . ……6分∴E H C ∠为C H 与平面1A AB 所成的角. ……7分∵C E =在R t △C E H 中，tan C E EH C EHEH∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……8分 ∴当1EH A B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E EH C EHEH∠===2.∴5E H =. ……9分在R t △EH B中，5BH ==∵R t △EH B ～R t △1A AB ，∴1EH BH AA AB=，即1552A A =. ∴14AA =. ……10分 以A 为原点，与A C 垂直的直线为x 轴，A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A B D 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B ?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî（苏元高考吧： ）令1y =，则1z x ==,∴平面A B D 1的一个法向量为n=)11,. ……12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n A A n A A n AA 5. ……13分 ∴平面1AB D 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……2分 ②-①得:11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+.③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……4分∴122(2)n n S S ++=+， ……5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……7分 又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……8分 法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++， 得12n n a S +=+. ④ ……4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p rqa aa--=-， ……10分 即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……11分 ∵p r ≠，∴2222prq+>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ）∴BC BA //. ……4分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……9分代入②得 2141x x y =， ……10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……6分同理， 20202y x x y -=. ② ……7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002. ……8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+= (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……14分 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……2分 (2)解法1:由(1)得()()1fx g x x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x ---()()22211xk x k m x -++-+=-. ……3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m km =+--+=+. ……4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-112x ,=<212x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧： ） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ………7分若k >时，1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1fx g x x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x ---()()22211xk x k m x -++-+=-. ………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ………4分 令()x ϕ'()()22211xk x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*) 则()()2224140Δk k m km =+--+=+>,(**) ………5分方程（*）的两个实根为12x =, 22x =.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-.∴()()1111nnnn n g x gxx x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111nn n n nn n n nnn nn xC xC xC x C x xxxxx ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C xC x C x----=+++ . ……10分令T 122412n n n nn n nC x C xC x----=+++ ， 则T 122412n nn nn nnn C xC xC x-----=+++122412nnn n n n nC xC xC x----=+++ .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n nn nn nn n nnC xxC xxC xx-------=++++++ 11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ 12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n n n n nC C C C C C C -=+++++--()222n=-. ………13分∴22n T ≥-，即()()1122nnng x gx⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11n n n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-， 则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ………11分()22k ≥⋅-+………12分122k +=-. ………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122n n n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. …14分。