2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业
作业——试论述向量在中学数学中的应用
向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。

请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”
一、向量在几何中的应用：
平行四边形性质的证明：
设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222AD
AD AB AB BD +⋅-=
)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)
二、向量在不等式中的应用：
柯西不等式的证明：
设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得
ac+bd ≤2222d c b a ++
所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。

三、向量在函数中的作用：
函数最值的计算：
求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。

解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。

四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：
求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则
,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。