1.2 函数及其表示[教学目标]1．在初中学习函数的基础上，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，了解映射的概念，并了解构成函数的要素．3．会求一些简单函数的定义域和值域．4．会用区间表示函数的定义域和值域．5．理解表示函数的图象法、列表法和解析法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．6．通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用．[教学要求]函数是高中数学的重要内容，函数现象大量存在于学生周围，初中学生已经学习过函数，那时把函数看成变量之间的依赖关系．我们教材要求能够从具体的实例中抽象概括出用集合与对应的语言定义的函数．因此教学过程中要把握住用丰富的实例分析归纳出函数的本质属性，要在这一过程中注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．与传统的处理方式不同，本节将映射作为函数的一种推广，这样做是为了较好与初中衔接，让学生更好地理解函数的概念，体现思维从特殊到一般的过程．本节的主要内容是函数的表示．在初中学生习惯于用解析式表示函数，本节注意在这一基础之上，注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．通过这些丰富多彩的表示方法，丰富学生对函数的认识，特别是帮助学生理解抽象的函数概念．可以借助信息技术环境使函数在数与形两方面的结合得到更为充分的表现．学生通过函数的学习能够更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．在教学过程中，要充分发挥图象直观的作用，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．[教学重点]在初中把函数看成变量之间的依赖关系的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型．[教学难点]1．对函数概念整体性的认识； 2．对函数符号内涵的理解． [教学时数] 4课时 [教学过程]第一课时1.2.1函数的概念（1） 新课导入一、回顾初中学习的函数概念我们在初中曾学习过函数，它的定义是：“设在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量．”请你举出这样的例子．二、三个实例1．呈现课本第15页——16页的三个实例．2．讨论：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？ 3．在讨论的基础上，得出三个实例中变量之间关系的共性： （1）都涉及两个数集；（2）对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：B A f :新课进展 一、函数定义 1．函数（课本第16页）设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：A x x f y ∈=),(．其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域（domain ）；与x 的值对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫作函数的值域（range ）．值域是集合B 的子集． 2．对函数概念的理解（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体．一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x ，按照确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和x 对应．（2）记住)(x f y =的内涵．例如对于2)(x x f =，对应关系f 就是“取平方”，而对于x x f =)(，对应关系f 就是“开平方”，f 就是函数符号，对于具体的函数它有具体的涵义．函数符号还可以记作(),y g x =()y u x =等．3．用函数定义理解初中学习过的函数 问：我们已经学过了那些函数？ 答：一次函数、二次函数和反比例函数． 请填写下表：4．请具体写出一个一次函数、二次函数和反比例函数，并作出图象． 二、求函数的定义域和函数值 例1 已知函数213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值． 解：课本第17页——18页．注意：)(x f y =与)(a f y =的区别．例2 求函数y =和131y x =-的定义域．解：函数y =的定义域应满足310,x -≥解得1.3x ≥ 所以定义域为1.3x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭函数131y x =-的定义域应满足310,x -≠解得1.3x ≠ 所以定义域为1,.3x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R 课堂练习课本第19页练习1，2三、本课总结1．用集合与对应的语言定义的函数．2．如何求简单函数定义域和函数值．求定义域时通常要注意以下几点：（1）开偶次方根需非负；（2）分母不等于零；（3）具体函数的定义域要求．四、布置作业课本第24页习题1.2A 组第1题（1）（2）（3）（4）． 课本第44页复习参考题A 组第6题．第二课时1.2.1函数的概念（2） 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：什么是函数？答：设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：A x x f y ∈=),(．其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域（domain ）；与x 的值对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫作函数的值域（range ）．函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如上节课所述的实例．对于给出解析式的函数，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．对用解析式表示的函数，可由给定的自变量值代入解析式计算函数值． 新课进展 一、求函数的值域 课堂例题例1 求下列函数的值域： （1）x y 3=；（2）xy 8=；（3）54+-=x y ；（4）762+-=x x y ． 分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．解：（1）值域为实数集R ； （2）值域为{}R y y y ∈≠,0； （3）值域为实数集R ；（4）函数762+-=x x y 的最小值是-2，所以值域为{}2-≥y y ．二、区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设b a ,是两个实数，而且b a <．我们规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),[b a ，],(b a ．这里的实数b a ,都叫做相应区间的端点．实数集R 可用区间表示为),(+∞-∞，我们把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数x 的集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞．“∞” 读作“无穷大”，“-∞” 读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”． 区间可在数轴上表示（课本第17页）．上面例1的函数值域用区间表示分别为：（1）),(+∞-∞，（2）),0()0,(+∞-∞ ，（1）),(+∞-∞，（4）),2[+∞-． 三、函数的相等 课堂例题例2 下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=．分析：两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域，值域和对应法则都相同．由于值域是由定义域和对应关系所确定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就相等．解： （1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数x y =（R x ∈）虽然对应关系相同，但是定义域不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．（2）33x y =（R x ∈），这个函数与函数x y =（R x ∈）不仅对应关系相同，而且定义域也相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）相等．（3）2x y ==⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,x x x x x 这个函数与函数x y =（R x ∈）的定义域都是实数集R ，但当0<x 时，对应关系与函数x y =（R x ∈）不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．（4）xx y 2=的定义域是{}0≠x x ，与函数x y =（R x ∈）不相同．所以，这个函数与函数x y =（R x ∈）不相等．我们可以用列出表格的方式进行判断：两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域，值域和对应法则都相同．由上表可以看出，只有y x =和y =从本例我们还可以看出，相同的对应关系，其表达形式可以不同． 课堂练习1．课本第19页练习3． 2．请你再举出函数相等的例子． 四、本课小结1．函数的值域由定义域和对应关系确定．2．如果两个函数的定义域、对应关系都相同，则它们是同一个函数． 五、课堂讨论请你比较本节所学的函数定义与初中的函数定义，谈谈你对函数的认识．教师准备的答案要点：（1）这两种定义的实质是一致的；（2）叙述的出发点不同：初中的定义从运动变化的观点出发，上节课给出的定义是从集合、对应的观点出发；（3）用变量观点描述函数比较生动直观，而用集合对应观点描述函数比较抽象，但更具有一般性．例如函数：⎩⎨⎧=.,0,,1)(是无理数时当是有理数时当x x x f用变量观点解释会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义，但是用集合与对应的观点来解释，就十分自然．六、布置作业课本第24页习题1.2A 组第4、5、6题，第25页B 组第1、2题． 课本第44页复习参考题A 组第7题．第三课时1.2.2 函数的表示法（1） 复习导入问：我们在初中接触过函数的哪一些表示法？（可回顾上节第一课时的三个引入例题） 答：解析法、图象法和列表法．教师讲解：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．这是中学阶段所研究的主要的函数表示形式．图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等．列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．新课进展一、函数的三种表示法1．我们结合具体的例子来思考如何表示函数？ 课堂例题例1 （课本第19页例3）某种笔记本的单价是5元，买x （{}5,4,3,2,1∈x ）个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数)(x f y =．解：函数的定义域是数集{}5,4,3,2,1． 用解析法可将函数)(x f y =表示为x y 5=，{}5,4,3,2,1∈x ．用列表法可将函数)(x f y =表示为用图象法可将函数)(x f y =表示为：（见课本第20页图）例2 某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年内12个月份的关系用一条折线连接起来如图1—2—1． 请用列表法表示图中的函数关系．解： 在图象上找出月份与销售额的对应点，用列表法表示为2．思考：1.所有的函数都能用解析式表示吗？2.三种表示法的特点各是什么，请用例子说明．课堂练习请你举出3个函数，分别用三种方法表示． 课堂例题图2-2-1例3 （课本第20页例4）配有图片． 课堂练习课本第23页练习1、2题． 3．本课小结表示函数常用的有三种方法，它们有各自的优点和不足． 4．布置作业1．课本第24页习题1.2A 组7、8、9题．B 组第3题．2．已知定义在R 上的函数(),y f x =其部分值的对应关系如下表：则符合上面的关系的一个函数解析式是 ．第四课时1.2.2 函数的表示法（2） 复习导入回顾上节课学习的内容．一、函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．讲解上节课作业题（课本第25页习题1.2B 组第3题），引出分段函数概念． 二、分段函数用解析法表示函数时，常常遇到这样的情形，一个函数在整个定义域上不能建立统一的函数解析式，自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式，这样的一类函数我们把它称为“分段函数”（segment-function ）．新课进展 课堂例题例1 画出函数x y =的图象．解：由绝对值的概念，我们有⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,x x x x y 所以，函数的图象如图所示（课本第21页图1.2-4）．本例题的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备．例2 （课本第21页例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则指定： (1)5公里以内（含5公里），票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．解：见课本第21页．本例题的主要目的有以下几点：（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题； （2）学习分段函数及其表示；（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义．本例根据当地的实际情形可作适当改编．课堂练习画出函数1y x =+的图象．解： 1,1,11,1.x x y x x x --<-⎧=+=⎨+≥-⎩由于这个函数的自变量x 取1x <-与1x ≥-的解析式不同，所以要分段讨论．其图象如下图．三、映射函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．例如，欧洲的国家构成集合A ，欧洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．这样，对于集合A 中的任意一个国家，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应B A f →:称为映射．一般地，我们有：映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping),记作 :f A B →．其中x 叫做原象(inverse image)，与x 对应的y 叫做象(image)．思考：2010年世界杯在南非举行．南非有三个首都（除首都外，另外两个是行政首都和司法首都）．如果非洲的国家构成集合A ，非洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．判断这样的对应是否能够构成从集合A 到集合B 的一个映射？练习 判断下列对应是不是从A 到B 的映射？-1023求绝对值-1BA1-22-331开平方-1BA1-22-33419求平方-1BA1-22-33419一种对应rq p -1BA-22-331图甲图乙图丙图丁图甲不是映射，因为集合A中的一个元素对应了集合B中的两个元素；图乙是映射，符合映射的定义；图丙是映射，虽然，集合B中有的元素没有A中的元素与之对应，但仍符合映射的定义；图丁不是映射，因为集合A中的每一个元素都要对应集合B中的元素，但是A中的元--没有对应B中的元素．素1,2例3 （课本第22页例7）四、本课小结1．分段函数：自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式2．映射：函数概念的推广．五、布置作业：1．课本第23页练习第3、4题．2．课本第25页习题1.2B组第4题．。