n E 0 n ( E) 0
5
求解边值问题两种经典方
• 里兹(Ritz)变分方法
用变分表达式(也称为泛函)表示边值问题，泛 函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分 方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可 得到近似解。
• 伽辽金(Galerkin)方法
残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数 求加权方法来得到方程的解。
E e Nie eie
i 1
n
3
区域离散的概念
为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的 剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖 分；对于三维问题，采用的是四面体单元：
4
有限元边值问题
典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域 边界上的边界条件来定义： LФ=f 其中L为微分算符，f为激励或者强加函数，Ф是未知量。
背景知识
• 有限元法是近似求解数理边值问题的一种数值技术； • 1968年开始用于求解电磁场问题； • 有限元法的本质是将微分方程的求解转化为代数方程的求解； 里兹有限元法、伽辽金有限元法 • 最大特点：以适当的形式将解域划分为有限个单元，在每个单 元中构造子域基函数，利用里兹变分法或伽辽金法构造代数形 式的有限元方程。 • 优点1：具有灵活的离散单元，可以精确地模拟各种复杂的几 何结构，求解包含各种复杂形状、复杂媒质的电磁场问题。 • 优点2：所形成的方程组的系数矩阵为稀疏对称阵，利于求解。 • 缺点1：比积分方程法多一维，增加了未知量的数目。 • 缺点1 ：对于开放问题必须使用边界吸收条件截断计算空间， 增加了一定的计算复杂度。 • 在电磁场计算中，矢量基函数已基本取代了标量基函数； 2 • 一般情况下，分为频域有限元法和时域有限元法。
2
g
e i 1
3

e
N Dn d
e i e
其中： D x x y y x y
21
求解方程组
经过以上各步，得到包含所有结点未知量 的线性 方程组：
[ K ] b g
其中，[b]来自于强加源 f ，[g]来自于边界条件，矩 阵 [K] 中的每个元素表达了每个结点与其相邻所有 结点在基函数上的相关性。求解该线性方程组即得 到所有结点上的标量值，再通过原来每个单元中的 展开函数回代，便可以得到该单元中的任意一点上 所需要的标量值。
e 11 e 21 e 31
K K K
e 12 e 22 e 32
K K K
e 13 e 23 e 33
e 1 e 2 e 3

18
K矩阵的形成
1 1 4 2 3 3 5
(1) K31 (1) (2) (3) K11 K33 K33 (3) K13 (1) ( 2) K 21 K 23 (3) K1(2) K 3 23 0
19
列向量[b]的形成
1 1 4 2
2
e e b N e i fdxdy i 1
3
3
3
(1) b1 b3 5 (1) b (2) (3) b1 b3 b3 2 (3) 4 b3 b e 1 b b (1) (2) (4) e 1 b2 b2 b3 b4 (3) ( 4) b1(2) b2 b5 b1 (4 ) b2 b6
6
里兹(Ritz)变分方法
LФ=f 的解等于下式泛函对
泛函：
的解
vj是定义在全域上的展开函数
cj是待定的展开系数
7
里兹(Ritz)变分方法
将试探函数代入泛函：
令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组
8
里兹(Ritz)变分方法
其中： （应用算符L的自伴性质）
求解该方程组可以得到 LФ=f 的近似解
Dirichlet边界条件： Neumann边界条件： 混合边界条件： ( x
p
n p
on 1
on 1
on 2
d d x y y ) n q dx dy
12
空间离散
1
1Leabharlann 这是二维区域离散的示意图。
4
2
2 3 3 5 4 6
黑色数字表示节点的全局编 码，红色数字表示三角形单 元的全局编号。
e i e j e j
i j i j
性质2：当观察点(x,y)位于第i个结点的对边上时：
Nie x, y 0
结论： 一个单元边的 e值与其相对结点处的 值无关，
而由该边两端点处的 值确定。从而保证了单 16 元两侧解的连续性
用伽辽金法建立公式
①
R e N x f dxdy y x y y x Nie Nie e e x y Ni dxdy x x y y
组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局 部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有 一一对应关系。
13
选择插值基函数
e 使用线性三角形单元，在第e个单元内， ( x ) 可以
近似为：
( x, y ) a b x c y
e e e e
e 1 a e be x1e c e y1e
22
三维有限元分析
三维边值问题
d d d d d d x y f z dx dx dy dy dz dz (x , y , z ) V
Dirichlet 条件： Neumann边界条件：
p
在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量 波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。
( 1
r
E) k02 r E jk0 Z 0 J
边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有 复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。
e e e e e 节点坐标带入： e a b x c y2 2 2 e e e 3 a e be x3 c e y3
解得：
e ( x, y ) Nie ( x, y )ie
i 1
14
3
e N 其中， i ( x, y ) 为插值基函数
插值基函数
1 e e e N x, y a b x c i i y e i 2
电磁场有限元法
参考资料： 1. 金建铭，“电磁场有限元方法”，西安电子科技大学出版社
2. 王长清，“现代计算电子学基础”，北京大学出版社
3. 张榴晨,徐 松 ，“有限元法在电磁计算中的应用”，中国铁道出版 社
4. 王秉中，“计算电磁学”，科学出版社
5. 盛新庆，“计算电磁学要论”，中国科技大学出版社
0 (2) (3) K31 K32 (3) K12 (2) (4) K 21 K31 ( 3) (4) K1(2) K K 1 22 11 (4) K 21
0 1 0 2 0 3 (4) K 32 4 (4) K12 5 (4) K 22 6
有限元的基本思路
• 将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元 形式简单，数量有限； • 根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数， 要求各基函数之间线性无关； • 基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各 自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上， 定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0； • 求解的目标就是单元内这些特定的点或线上的电 场值。一旦已知，则单元内任一点的电场值都可 以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。
9
伽辽金(Galerkin)方法
——使用残数加权法求解微分方程 假设 是 LФ=f 的近似解，则得到非零的残数为：
残数加权方法要求
wi是所选择的加权函数
10
伽辽金(Galerkin)方法
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所 用的函数相同，这样可得到最精确的解。 假设近似解为：
则取加权函数选为：
e i
i 1, 2,3
其中：
e e e e a1e x2 y3 y 2 x3 ; e e b1e y2 y3 ; e e c1e x3 x2
a x y y x ;
e 2 e e 3 1 e e 3 1 e e e a3 x1e y2 y1e x2 ;
b y y ;
n p
在S1上
on 1
混合条件：(x
d d d x y y z z ) n q dx dy dz
在S2上
23
空间离散
4
这是三维区域离散的示意图。
4
6
20
列向量[g]的形成
1 1 4 2 3 3 5 4 6
(1) g1 g3 (1) g (2) (3) g1 g3 g 3 2 (3) 4 g3 g e 1 g g (1) (2) (4) e 1 g2 g2 g3 g4 (3) g1(2) g 2 g1( 4) g5 (4 ) g2 g6
e 2 e 3 e 1 e e b3 y1e y2 ;
c x x
e 2 e 1
e 3
e e c3 x2 x1e
1 e e e e b1 c2 b2 c1 第e个单元的面积 2
e
15
二维插值基函数的性质
1 性质1： N x , y ij 0
e N ie fdxdy e N ie D n e d