第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC 的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ． ①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得2m =． 此时222DA FD DC EC m===，而323OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以 S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD＝823＝433，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以APAD＝23＝33．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-． 在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题 如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE 26”930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩2,3.b c =⎧⎨=⎩2222222BM OB BQ OP =23322t t =-94t =BM OP BQ OB =23322t t =-1cos 2AC AB A =∠1cos 2AB AC A =∠1(,)16a 1(,)16a 2116a =14a =214y x =21(,)4x x 222411(2)4416PA x x x =+-=+214x 214x 2241416PM PA x ==+22411()416PH x x ==332+22211(232)(31)42344x =+=+=+423+332-22211(232)(31)42344x =-=-=-423-214y x =21(,)4x x 222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-=++2114x +1824(,)55-31542y x =-1824(,)55-241832()555a -=⨯⨯-524a =2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--125(5,)24-MA ME MF MA =451cos 2BQ BP B =∠14(10)25t t =-8013t =1cos 2BP BQ B =∠14(10)25t t -=5013t =26”OC OB OA OC=43n =-51n +=51n -=4cm3cm1cm 27”35453512AP QD ⋅13(5)25t t -⨯23(5)10t t --23515()+1028t --52t =1584(5)5t -4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦2013t =52t =1cos 2AQ AP A =14(5)25t t =-4013t =1cos 2AP AQ A =14(5)25t t -=2513t =232444(5)35t t⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦6023t=24.25≈22”22AB AQ tAD AP t===16228CQ tCP t-==-623CBCD==CQ CBCP CD=3535 2()AQPABDS APS AD=△△215()5t⨯235t12CQ CP⋅1(162)(8)2t t--2(8)t-QP APBD AD=535QP t=355QP t=65t85t22QH CH+2268()(8)55t t+-3585t t-=6510t=-226835()(8)555t t t+-=2111283200t t-+=4011t=22688()(8)55t t t-=+-25160t t-=165t= 22QH PH+2268()()55t t t+-35t3522CQ CP+22(2)CP CP+5(8)t-35 35341m m -=21”121212BB '3(3,3)212c P PM NOM ON='2212c b b c=22222243QH PH NF PF =(3)(1)32(1)t t t t ---=--933t ±=933t -=(1)(3)122P Q G x x t t x +-+-===10(0,)310(0,)31053a =23a =22210(1)(5)4333y x x x x =--=-+22105(4)33x x --+210(65)3x x --+21040(3)33x --+4035222355(1)(5)()33222y x x =--=⨯⨯-=-55(,)22-55(,)22-55(,)2222(1)(5)(5)3x x x x⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦1252254225225()(1)(5)234x x x⎡⎤-+---=⎢⎥⎣⎦51(4)()()022x x x---=52125254()()()2x x m x n---441028,1010453,1020.m nm n mnmn++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩4,1.2mn=⎧⎪⎨=⎪⎩20”0,4 3.a ka k+=⎧⎨+=⎩2 1036m=(2,36)(2,36)25”23 323383323432 3833432,x x25”432,3-4343a -=-33a =3(4)3y x x =-(1,3)-(1,3)-(1,3)-3m 3(4)3y x x =-3(4)3y x x =--3(2,(2)(24))3m m m +-++-3(23,(23)(234))3m m m +++-33(23)(234)3(2)(24)33m m m m ⎡⎤++-=-++-⎢⎥⎣⎦3m2233m =±23223m +=±83(223,)3+83(223,)3-432,-243(2)y a x =--3a =25”4a 12a =-221131325(1)(4)2()222228y x x x x x =-+-=-++=--+325()28，=FQ MNMQ BN=4FQ nm m-=4mnFQ m-32x =32()322m m -=-12FQ MQ⋅124mnmm⨯⨯-2124m n m ⨯-12ME MN ⋅1(32)2m n-24m n m -(32)m n -11m =4FQ mMN m -=32MQ mME m -32443y x =+3m 4m 5m 5m 3m 5m 5m 3m 5m 3m 3m 5m 34y x =334y x =+20943433-5345534343(4)55t t-⨯21212+255t t -2125()3252t --+52t =αα333sin 602︒=33α12MQ AO =12NO MQ =111244NO MQ AO ===14NO =15162315243()416162+==6363⨯32GQ GP5AC =5AD AO AE AC ==552AE AD ==3(,0)2219()24x --+19()24，19()24，3322y x =+33(,)22x x +1212GH EH =3332()222x x -=+38x =-315(,)816-4(2)3-，3(0)4-，3(0)4，25”13a=-213y x =-4(2)3-，42,33 3.k b k b ⎧+=-⎪⎨⎪-+=-⎩13k =123y x =-1(,2)3x x -21(,)3x x -211(2)33x x ---21125(+)+3212x -12x =-25123(0)4，34y kx =-34y kx =-213y x =-213034x kx +-=94-9432HF HS HN HF=834(2,)3--x x 26”x2x 22-12DF DE ⋅122(2)212BC FC ⋅122(2)2x ⨯⨯22(2)42x x -2(2)2x -21+24xPE PF NP NB11()222NF EP MP NF EM +=⋅=221144AP x =21+24x 324312BD m =3FD m=12BD FD ⋅23m 1(4)2CE m =-3(4)FE m =-12CE FE ⋅23(4)m -223343(4)88m m ---233234m m -++23(2)334m --+33EF EA323x3EFEC =13a 3a 23a 7a12BD m =3FD =142m -3(8)m -1(4)2CE m =-3)FE m =-122m +23)m -233(8))m m --23323m +16cm1cm1cm33333(3)3t -433(3)(3)433t t -+-=633t =-633-32CN CP =63CN =1563-cot 303CG CN CNAG DN GN===︒=213(23)y x x =--x25”2133(23)(1)(3)33y x x x x =--=+-3-2233(7)(3)(1021)33y x x x x =--=-+3-3-3-AG DG 33MH CH =23103(,+73)x x x -23103(+73)(3)3x x x ---=1373x ±=1373x +=333y x =-1()2PE MF NK +23103(,+73)m m m -(,33)m m -23103(33)(+73)m m m ---2313383m m -+-23137332m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭132m =1373(,)212-2331021)y x b y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，132x =立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据?确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，22（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （1）若点P (2, m )是反比例函数ny x=（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y ＝3kx ＋s －1（k 、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1（a 、b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个“梦之点”A (x 1, x 1)、B (x 2, x 2)，且满足－2＜x 1＜2，| x 1－x 2|＝2，令2157248t b b =-+，试求t 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值范围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x重合时，有无数个“梦之点”．此时k＝13，s＝1．②如图2，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x平行时，没有“梦之点”．此时k＝13，s≠1．③如图3，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x相交时，有1个“梦之点”．此时k≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s sk k----．（3）因为A(x1,x1)、B(x2,x2)两点是抛物线与直线y＝x的交点，联立y＝ax2＋bx＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2． 已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8． ②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8． 所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176．所以t 的取值范围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0． 所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点．图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以?＞0． 由?＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1． 又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+．整理，得210m m --=．解得15m -=，或1+5m =（舍去）． 所以323(15)52m -=--=+．所以132m -＝52+＝52-． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x xm m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m 变化时，抛物线y ＝x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－(m －2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y ＝(m －2)2－2(m －2)2＋m 2－3m ＋3＝m －1．因为x ＋y ＝－(m －2)＋m －1＝1为定值，所以y ＝－x ＋1．也就是说，抛物线的顶点(x , y )的运动轨迹是直线y ＝－x ＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26题如图1，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）若1=3AOBBOCSS△△，求k的值；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C在抛物线上运动，可以体验到，当以BC为直径的圆经过原点时，△BMO∽△ONC．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB与BC的比，进而转化为B、C两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B、C两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B、C两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O关于直线x＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y＝－x2＋bx＋c的解析式为y＝－x(x－4)＝－x2＋4x．（2）如图2，因为1==3AOBBOCS ABS BC△△，所以1=4BCxx．设x B＝m，那么x C＝4m．将点B(m, km＋4)、C(4m, 4km＋4)分别代入y＝－x(x－4)，得4(4),444(44).km m mkm m m+=--⎧⎨+=--⎩①②①－②÷4，整理，得m2＝1．所以m＝1．将m＝1代入①，得k＋4＝3．解得k＝－1．此时点C落在x轴上（如图3）．（3）因为B、C是直线y＝kx＋4与抛物线的交点，设B(x1,kx1＋4)，C(x2,kx2＋4)．联立y＝－x2＋4x和y＝kx＋4，消去y，整理，得x2＋(k－4)x＋4＝0．所以x1＋x2＝4－k，x1x2＝4．如图5，若以BC为直径的圆经过原点，那么∠BOC＝90°．作BM⊥y轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N，那么△BMO∽△ONC．根据BM ONMO NC=，得1212(4)4x kxkx x-+=+．所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x=-++=-+++．将x1＋x2＝4－k，x1x2＝4代入，得24[44(4)16]k k k=-+-+．解得54k=-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1． 将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年湖南省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k，使得AD与BE平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x1·x2·x3的最小值由哪个自变量决定呢当然是k了．所以先求x1·x2·x3关于k的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x1·x2由根与系数的关系得到，x3就是点C的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD222(52)17(2)42()424kk k k k+∆=+-⨯=-+=-+2(1)(1)y k x k=+++(52)4k+1(52)(1)4k k-++21(572)4k k-++710x=-14949(52)410010-⨯-+980CA CGAB GE=OD OEOA OB= 212(52)(1)4kkx x++=22122(52)(1)4kkx x x++=⋅222(1)1kx+=252(2)4ky x k x+=-++5201(2)4kk+=-++252(2)4ky x k x+=-++252(1)(2)(1)04kk k k++-+++=2333332323(4,23)34y x=-14”364x-=以AA′＝8.图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，所以BB′＝AA′＝8.图2例 3 2015年株洲市中考第14题已知直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点在A(2, 0)，B(3, 0)之间（包括A、B两点）则a的取值范围是_____________．动感体验请打开几何画板文件名“15株洲14”，拖动点D在A、B之间运动，可以体验到，直线与y轴的交点C在(0,－4)和(0,－6)两点之间运动（如图1，图2）．答案7≤a≤9．思路如下：如图1，将点A(2, 0)代入y＝2x＋(3－a)，得4＋(3－a)＝0．解得a＝7．如图2，将点B(3, 0)代入y＝2x＋(3－a)，得6＋(3－a)＝0．解得a＝9．图1 图2例 4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口18”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，以AE 为腰的等腰三角形ADE有两个．答案6或256．思路如下：如图2，四边形ABED保持平行四边形，AM＝EN＝4，BM＝DN＝3，AD＝BE＝m．①如图3，当EA＝ED时，点E在AD的垂直平分线上，此时AD＝2ND＝6．②如图4，当AE＝AD时，根据AE2＝AD2，得m2＝42＋(m－3)2．解得256m ．图2 图3 图4§图形的翻折例 5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题如图1，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F ，如果DE //AB ，那么CFBF的值是______．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤18”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当DE //AB 时，△ACF 是顶角为30°的等腰三角形．答案31+．思路如下：如图2，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ACH 中，∠C ＝30°，AC ＝2，所以AH ＝1，CH ＝3． 在Rt △ABH 中，∠B ＝45°，所以BH ＝AH ＝1．所以BC ＝31+． 如图3，当DE //AB 时，∠BAE ＝∠AED ＝∠C ＝30°． 此时∠AFC ＝∠B ＋∠BAE ＝75°．在△ACF 中，∠C ＝30°，∠AFC ＝75°，所以∠FAC ＝75°．所以CF ＝CA ＝2． 所以BF ＝BC －CF ＝312+-＝31-． 所以3131CF BF ==+-． 另解：也可以根据△BAF ∽△BCA 先求得BF 的长．由BA 2＝BF ·BA ，得2(2)(31)BF =⋅+．所以31BF =-．图2 图3例 6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，cos C＝14，BD是中线，将△CBD沿直线BD翻折，点C落在点E，那么AE的长为_______．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦18”，可以体验到，四边形BCDE是菱形，四边形AEBD是平行四边形，AE＝BD．答案6．思路如下：如图2，作AM作BC于M，DN⊥BC于N．在Rt△ACM中，AC＝4，cos C＝14，所以CM＝1．所以BC＝2CM＝2．已知D是AC的中点，所以BC＝DC＝2．如图3，由BE＝BC，BC＝DC，DC＝DA，得BE＝DA．由∠1＝∠2，∠1＝∠3，得∠2＝∠3．所以EB//AC．所以四边形AEBD是平行四边形．所以AE＝BD．如图2，在Rt△DCN中，DC＝2，CN＝12，所以DN＝15．在Rt△DBN中，BN＝32，所以BD＝6．所以AE＝6．图2 图3例 7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，tan∠B＝13，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么BDDC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行18”，拖动点C绕着对称轴DE旋转到点A，可以体验到，DE垂直平分AC，DC＝DA．答案135．思路如下：如图2，作AH⊥BC于H，那么BH＝CH．已知tan∠B＝AHBH＝13，设AH＝1，BH＝3．设DC＝DA＝m．在Rt△ADH中，由勾股定理，得m2＝12＋(3－m)2．解得53m=．所以BD＝BC－DC＝563-＝133．所以135BDDC=．图2例 8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是___________．动感体验请打开几何画板文件名“16浦东18”，拖动点D在AC上运动，可以体验到，当∠CPD 为直角时，△CHP∽△PED≌△AED，这三个直角三角形的三边比都是3∶4∶5．答案358．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，BC＝15，AC＝20，所以AB＝25，cos B＝35，cos A＝45．在Rt△BCH中，BH＝BC·cos B＝3155＝9．当∠CPD＝90°时，∠CPH与∠DPE互余．又因为∠B与∠A互余，∠DPE＝∠A，所以∠CPH＝∠B．于是可得PH＝BH＝9．所以AP＝25－18＝7．所以AE＝72．所以AD＝54AE＝358．图1例 9 2016年上海市普陀区中考模拟第18题如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和边BC 分别交于点E、F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”的面积最大时，点E的坐标是___________．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16普陀18”，拖动点G在AD上运动，可以体验到，△BEF的高AB保持不变，当点G与点D重合时，BF最大，△BEF的面积也最大（如图3，图4所示）．答案3(,2)2．思路如下：设菱形BFGE的边长为m．如图4，当G、D重合时，在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝4－m．由勾股定理，得m2＝22＋(4－m)2．解得m＝52．此时AE＝4－m＝32，点E的坐标为3(,2)2．图3 图4例 10 2016年张家界市中考第14题如图1，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的点E处，EQ与BC 相交于F，若AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm．则△EBF的周长是 cm．。