第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1 图1 图2例 1 湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？动感体验 请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9，所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5 图6（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ． 如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m =．解得22m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ． 由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△P AH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x 2－6x )＝23273()24x -++．例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y （1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图1（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S ＝S 1＋S 2，求S 的最小值. 动感体验请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已． 思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝23．所以AD ＝23． （2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8．所以AP AD ＝823＝433，而PC PB＝3．此时△APD 与△PCB 不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以AP AD ＝223＝33．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ． 综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)3m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式． 例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠P AQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ＝2t ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，AP ＝2AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QP A ＝90°时，AQ ＝2AP ．解方程2t ＝2(3－t )，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3图4 图5 （3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝2．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM2所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当BM OBBQ OP=23322tt=-．解得94t=（如图5）．②当BM OPBQ OB=23322tt=-．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2AC AB A=∠；③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3 图1例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值． 2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：如图3，当AM ＝AN时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3图4 图5 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝3此时x ＝OH ＝32．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x ===+ 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝3此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-=+=+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切． 例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM是直角三角形EAF 斜边上的高． 4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =．所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--．抛物线的顶点为125(5,)24-．（3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ① 如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5 图6考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－(m ＋n )x ＋mn （m ＞n ）与x 轴相交于A 、B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C ．（1）若m ＝2，n ＝1，求A 、B 两点的坐标；（2）若A 、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB 的大小；（3）若m ＝2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A 在x 轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B 在x 轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC 有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m ，n 表示点A 、B 、C 的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC ，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC ，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y ＝x 2－(m ＋n )x ＋mn ＝(x －m )(x －n )，且m ＞n ，点A 位于点B 的右侧，可知A (m , 0)，B (n , 0)．若m ＝2，n ＝1，那么A (2, 0)，B (1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB OA OC=．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得43n=-（如图2）．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得512n+=-（如图4），或512n-=（如图5）．图1 图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2 图3 图4 动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45． 作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158． （2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -． 如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．（3）等腰三角形APQ 存在三种情况： ①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =．②如图6，当P A ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =．如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=得2513t =．图5 图6 图7图8考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ．解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =． 例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t ===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3． 如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ． 在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图1图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =535t =．所以35QP =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ．在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ 22QH CH +2268()(8)55t t +-分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程358t -=，得6510t =≈3.4（如图5所示）．②当QC ＝QP 226835()(8)55t t +-=．整理，得2111283200t t -+=．所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）．③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7图8 图9考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝355t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3图4如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O 、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B ，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A (3, 0)，B (1,－4)，如果直角三角形ABC 的顶点C 在y 轴上，求点C 的坐标．我们可以用几何的方法，作AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C ．如果作BD ⊥y 轴于D ，那么△AOC ∽△CDB ．设OC ＝m ，那么341m m -=． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y 轴的两个交点． 例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题如图1，已知抛物线E 1：y ＝x 2经过点A (1,m )，以原点为顶点的抛物线E 2经过点B (2,2)，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A ′、B ′．（1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△P AA ′与△P ′BB ′的面积之比．图1 图2图3 图4 动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P 在抛物线E 1上运动，可以体验到，点P 始终是线段OP ′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB ′有两个．思路点拨1．判断点P 是线段OP ′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P 、P ′的坐标．2．分别求线段AA ′∶BB ′，点P 到AA ′的距离∶点P ′到BB ′的距离，就可以比较△P AA ′与△P ′BB ′的面积之比．图文解析（1）当x ＝1时，y ＝x 2＝1，所以A (1, 1)，m ＝1．设抛物线E 2的表达式为y ＝ax 2，代入点B (2,2)，可得a ＝12．所以y ＝12x 2． （2）点Q 在第一象限内的抛物线E 1上，直角三角形QBB ′存在两种情况：①如图3，过点B 作BB ′的垂线交抛物线E 1于Q ，那么Q (2, 4)．②如图4，以BB ′为直径的圆D 与抛物线E 1交于点Q ，那么QD ＝12BB '＝2． 设Q (x , x 2)，因为D (0, 2)，根据QD 2＝4列方程x 2＋(x 2－2)2＝4．解得x ＝3±．此时Q (3,3)． （3）如图5，因为点P 、P ′分别在抛物线E 1、E 2上，设P (b , b 2)，P ′(c ,212c )． 因为O 、P 、P ′三点在同一条直线上，所以P PM N OM ON ='，即2212c b b c=． 所以c ＝2b ．所以P ′(2b , 2b 2)．如图6，由A (1, 1)、B (2,2)，可得AA ′＝2，BB ′＝4．由A (1, 1)、P (b , b 2)，可得点P 到直线AA ′的距离PM ′＝b 2－1．由B (2,2)、P ′(2b , 2b 2)，可得点P ′到直线BB ′的距离P ′N ′＝2b 2－2．所以△P AA ′与△P ′BB ′的面积比＝2(b 2－1)∶4(2b 2－2)＝1∶4．考点延伸第（2）中当∠BQB ′＝90°时，求点Q (x , x 2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ 2＋B ′Q 2＝B ′B 2．所以(x －2)2＋(x 2－2)2＋(x ＋2)2＋(x 2－2)2＝42． 方法三，作QH ⊥B ′B 于H ，那么QH 2＝B ′H ·BH ．所以(x 2－2)2＝(x ＋2) (2－x )．图5 图6图1 图2例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题如图1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点C ，连结BC ．动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动，动点Q 以每秒2个单位长度的速度从点B 向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，连结PQ ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ 为直角三角形时，求t 的值；（3）如图2，当t ＜2时，延长QP 交y 轴于点M ，在抛物线上是否存在一点N ，使得PQ 的中点恰为MN 的中点，若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由． 动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，△BPQ 有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N 有一次机会可以落在抛物线上． 思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ ．2．如果PQ 的中点恰为MN 的中点，那么MQ ＝NP ，以MQ 、NP 为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．．图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3．（2）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，可得AB ＝4，∠ABC ＝45°．在△BPQ 中，∠B ＝45°，BP ＝4－t ，BQ ＝2t ．直角三角形BPQ 存在两种情况： ①当∠BPQ ＝90°时，BQ ＝2BP ．解方程2t ＝2(4－t )，得t ＝2（如图3）． ②当∠BQP ＝90°时，BP ＝2BQ ．解方程4－t ＝2t ，得t ＝43（如图4）．图3 图4 图5（3）如图5，设PQ 的中点为G ，当点G 恰为MN 的中点时，MQ ＝NP ．作QE ⊥y 轴于E ，作NF ⊥x 轴于F ，作QH ⊥x 轴于H ，那么△MQE ≌△NPF ．由已知条件，可得P (t －1, 0)，Q (3－t ,－t )．由QE ＝PF ，可得x Q ＝x N －x P ，即3－t ＝x N －(t －1)．解得x N ＝2．将x ＝2代入y ＝(x ＋1)(x －3)，得y ＝－3．所以N (2,－3)． 由QH //NF ，得QH PH NF PF=，即(3)(1)32(1)t t t t ---=--．整理，得t 2－9t ＋12＝0．解得933t ±=．因为t ＜2，所以取933t -=． 考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122P QG x x t t x +-+-===． 所以x N ＝2x G ＝2．§1．4 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1．已知A 、B 、C 三点，以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对边AB 与DC 平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对角线互相平分？图1 图2 图3图4如图1，过△ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D ． 如图2，已知A (0, 3)，B (－2, 0)，C (3, 1)，如果四边形ABCD 是平行四边形，怎样求点D 的坐标呢？点B 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A 重合，因为BA 与CD 平行且相等，所以点C (3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D (5, 4)．如图3，如果平行四边形ABCD 的对角线交于点G ，那么过点G 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A 、C 到这条直线的距离相等，点B 、D 到这条直线的距离相等．关系式x A ＋x C ＝x B ＋x D 和y A ＋y C ＝y B ＋y D 有时候用起来很方便．我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．如图4，点A 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3在x 轴上方的一个动点，AB ⊥x 轴于点B ，线段AB 交直线y ＝x －1于点C ，那么点A 的坐标可以表示为(x ,－x 2＋2x ＋3)， 点C 的坐标可以表示为(x , x －1)，线段AB 的长可以用点A 的纵坐标表示为AB ＝y A ＝－x 2＋2x ＋3，线段AC 的长可以用A 、C 两点的纵坐标 表示为AC ＝y A －y C ＝(－x 2＋2x ＋3)－(x －1)＝－x 2＋x ＋2． 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离． 例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A (1, 0)、B (5, 0)、C 10(0,)3三点．设点E (x , y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E (x , y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E 运动，可以体验到，当点E 运动到抛物线的顶点时，S 最大．当点E 运动到OB 的垂直平分线上时，四边形OEBF 恰好是正方形．思路点拨1．平行四边形OEBF 的面积等于△OEB 面积的2倍．2．第（3）题探究正方形OEBF ，先确定点E 在OB 的垂直平分线上，再验证EO ＝EB ． 图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点，设y ＝a (x －1)(x －5)．代入点C 10(0,)3，得1053a =．解得23a =．所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4333y x x x x =--=-+．（2）因为S ＝S 平行四边形OEBF ＝2S △OBE ＝OB ·(－y E ) ＝22105(4)33x x --+＝210(65)3x x --+＝21040(3)33x --+．所以当x ＝3时，S 取得最大值，最大值为403．此时点E 是抛物线的顶点（如图2）．（3）如果平行四边形OEBF 是正方形，那么点E 在OB 的垂直平分线上，且EO ＝EB ．当x ＝52。