王金城化工出版社第1章习题参考答案：1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()11112121dv M g K y K y y M dt---= 对2M ，有()()222123232dv M g K y y K y y M dt+---= 对3M ，有()33323433dv M g K y y K y M dt+--= 令312112233415263,,,,,dy dy dyx y x y x y x v x v x v dt dt dt =========，整理得 ()()()122214253641112334233251262322233,,,,,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++=-++=-+()()()1221123222223433300010000001000000010000001100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100000010000001000y x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()11121111dv M g B v v K y M dt+--= 对2M ，有()22221212dv f M g B v B v v M dt+---= 令1211223142,,,dy dyx y x y x v x v dt dt ======，整理得 11113243134111,,K B Bx x x x x x x x gM M M ===--++，112434222B B B f x x x g M M M +=-++所以状态空间描述为1111111122220010000001000011100K B B x x g f M M M B B B M M M ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦10000100y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-2（a ）取电感电流i 和电容电压u 为状态变量，列回路方程122c rc c c u u R (i )u u R di L u u dt u du C dt R ⎧=+++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令12c x i,x u,y u ===()1212121212112121211r R R R R L(R R )L(R R )L(R R )x x u R C R RC(R R )C(R R )-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦1222121212r R RR R y x u R R R R R R ⎡⎤=--+⎢⎥+++⎣⎦ （b ）选择回路电流a i 和电枢角速度ω为状态变量，有aa a a ae di u R i L K dt ω=++ 力矩平衡方程：a a d J B K i ,dtωω+= 其中a K 为转矩常数1a a e a a a a adi R K i u dt L L L ω=--+a a K d B i dt J Jωω=-- 令12a x i ,x ,ω==有10ae aa a a R K L L L x x u K B JJ -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦， []01y x ω==1-3 （1）传递函数为3221375Y(s )U(s )s s s =+++ 将传递函数中的公因子提出，于是有3123211375Y(s )s U(s )s s s ----=+++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形：0100001057131x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦u[]200y x =能观标准形：0052107001130x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y =x(2)传递函数为：2332132223123Y(s )s s s U(s )s s s s----++==++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]210y x =能观标准形：003210010120x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =（3）传递函数为：3212332123324515471547Y(s )s s s s s s U(s )s s s s s s ------+++---==+++++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图状态空间描述为：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]514y x u =---+（4）①12121221212121b s b b s b s Y(s )U(s )s a s a a s a s----++==++++ 状态空间描述为：1322140101x x u x a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]21y b b x =②22121201200111s c Z(s )c c Y(s )c s c s c s s c c ---==++++ 状态空间描述为：332144000101x x y c c x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，301z x c = 两系统串联，得112122332121440001000001000100x x a a x x u x x c c b b x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（5）由G(z)有，y(k+3)+4y(k+2)+5y(k+1)+2y(k)=u(k)令12312x (k )y(k )x (k )y(k )x (k )y(k )=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 1230100100102541x (k )x(k )x (k )u(k )x (k )⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）由G(z)有，y(k+3)+6y(k+2)+11y(k+1)+6y(k)=2u(k+2)+u(k+1)+2u(k)01001001061161x(k )x(k )u(k )⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]123212x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-4 （a ）化简系统结构图得系统状态空间描述：1234010000010024220025025x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []0100y x =(b) 化简系统结构图得系统状态空间描述：1112221323255223735353x x u ///x x u ////--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]110y x = []201y x =1-5 (1) 传递函数为21233212332322461246s s s s s G(s )s s s s s s------++++==++++++ 能控标准形：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]231y x =能观标准形：006210430121x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =（2）传递函数为24422431332132s s s G(s )s s s s -----+-+==++++ 能控标准形：01000001000001020301x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]1300y x =-能观标准形：00021100030103000100x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]0010y x =1-6（1） 24512122123123(s )(s )G(s )(s )(s )(s )s s s ++-==++++++++状态空间描述：100102010031x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]12122y x =-（2）223533313313(s )G(s )(s )(s )s s (s )+--==+++++++状态空间描述：310003010011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]333y x =--1-7（1）∵31I A ()()λλλ-=++ 1213,λλ=-=-∴1003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11111111,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦，22222131,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥-⎣⎦∴1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1111112P ---⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦ 11112B P B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦∴11020312x x u ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）1230123I A ,,,λλλλ-==-=-=-∴100020003A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦111111111,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2222212212,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 333331333,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴1111231132P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦137272304027162B P B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴37271002020304000327162x x u ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（3）51940003000x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-8 （1）∵A 为友矩阵123012I A ,,λλλλ-====∴ 110010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101112124P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111B P B --⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴100101010021x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）212331031I A ()(),,λλλλλλ-=--====310030001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 120112111P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11335234B P B --⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴3101330305200134x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1-9（1）110061031002P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111000062300100111000152020233302100313000222A P AP -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1106203502B P B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦203640C CP ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦11000621102203333502022x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦203640y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）①1111I A I P AP P P P AP P (I A)P λλλλ-----=-=-=-11I A P I A P P P I A I A λλλλ---=-=-=-∴特征值不变②1111G(s )C(sI A )B CP(sI P AP )P B ----=-=-111C P(sI P AP )P B ---⎡⎤=-⎣⎦11111C P(sI )P PP APP B C(sI A )B -----⎡⎤=-=-⎣⎦ ∴传递函数不变1-10证明：11G (s )c(sI A )b -=- 12G (s )c(sI A )b -=-∵T T TA A ,b c ,c b ===∴12T T T T T T TG (s )b (sI A )c b (sI )A c -⎡⎤=-=-⎣⎦ [11TT T T T Tb (sI A )c b (sI A)c --⎤⎡⎤=-=-⎦⎣⎦11TTc(sI A )b G (s )-⎡⎤=-=⎣⎦ ∵系统为单输入单输出，11TG (s )G (S )= ∴两者传递函数相同。