牙膏包装模型 Prepared on 22 November 2020
数模论文
题目：牙膏包装模型
指导老师：韩志全
组员：王心愿赵金政王霞弟
牙膏包装模型
摘要：
市场上的商品琳琅满目，有越来越多的消费者发现包装越大，越实惠，现以牙膏包装模型为例，通过比例模型，探究牙膏重量和牙膏价格的关系，进而帮助消费者和厂家作出更合理的决策。
提出问题：
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗比如洁银牙膏50装的每支元，120装的每支元，二者单位重量的价格比是：1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
问题分析
对牙膏包装和价格的关系、牙膏价格和牙膏重量的关系这两个问题，我们从两个方面进行研究，一是牙膏价格和牙膏重量的关系，二是牙膏单位重量的价格与牙膏重量的关系，针对问题一，我们分别探究价格与生产成本、包装成本和其他成本之间的关系，在这些成本中，生产成本与牙膏重量成正比；包装成本主要包括内、
外包装成本，它们分别与内外包装成本的表面积成正比，而牙膏重
量与牙膏包装的体积成正比，进而可以总结出牙膏包装的成本与重
量的关系；而生产牙膏还需要涉及运输费、电费、机器生产费等一
系列费用，这些费称之为其他成本，它与重量无关，可看做常量处
理。
综合三方面的分析，建立牙膏价格与牙膏重量的数学模型。
而对于问题二，在问题一的基础上，作比例处理很容易得出牙
膏单位重量价格c与重量w的函数模型，利用几何画板作出其函数
图象，进行图象分析，得出更多的启示，从而对商家与消费者提出
合理有效的建议和意见。
模型假设
（一）、特殊符号说明：
C——牙膏成本价格（单位：元）
w——牙膏的重量（单位：克）
c——牙膏的生产成本（单位：元）
1
k——单位重量的牙膏生产成本（单位：元∕克）
1
c——牙膏的内包装成本（单位：元）
2
k——牙膏内包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克）2
c——牙膏外包装包装成本（单位：元）
3
k——牙膏外包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克）3
Q——牙膏的其他成本（单位：元）
S
——牙膏内包装的表面积（单位：平方厘米）
1
S
——牙膏外包装的表面积（单位：平方厘米）
2
r——牙膏内包装的底面半径（单位：厘米）
α——牙膏内包装的高于底面半径r的比值
h——牙膏外包装的高（单位：厘米）
ρ——牙膏的密度（单位：克∕立方厘米）
V——牙膏内包装的体积（单位：立方厘米）
c——牙膏单位重量的成本价格（单位：元）
（二）、情况假设：
1.将牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体；
2.一般给牙膏内包装的高h与内包装底面半径r的比例关系设为一个定值；
3.将牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体；
4.由于牙膏一般可在盒里
360转动，可以假设底面边长即牙膏较扁的一段的长度；
5.假设内外包装的高是一样的.
模型建立与求解
按照问题分析中的思路，我们分别对问题一、二进行详细分析。
（一）、牙膏价格C与单位重量w的关系：
1.牙膏生产成本
1
c与重量w的关系：1c=1k w⑴
据市场调查，单位重量的牙膏成本价格
1
k=（元/克）
2.牙膏内包装成本
2
c与重量w的关系：
牙膏内包装成本
2
c与内表面积S1的关系：2c=2k S1⑵
牙膏内包装表面积为S
1：π
π2
2
1
+
=r
S rh⑶
据市场调查，牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体，则由圆柱体的体积公式得：V=πr 2h ⑷
按照密度公式：w=V ρ⑸
从而得出底面半径与牙膏重量的关系：r=3
k
w
ρπ 据专家意见牙膏设计师考虑到牙膏包装设计的美观效果，一般给牙膏内包装的高与内包装底面半径的比值设为定值，即：α=r
h ⑹
综合⑴⑵⑶⑷⑸⑹得牙膏内包装成本与牙膏重量w 的关系为： c 2=
()
3
22ρπαπ
απ+w 3
2k 2⑺
3．牙膏外包装成本c 3与重量w 的关系：
牙膏外包装成本c 3与外包装表面积S 2的关系：233s k c =⑻ 同样，据市场调查，牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体，由于牙膏一般可在盒里 360转动，可以假设底面边长即牙膏较扁的一段的长度，假设内外包装的高是一样的，那么外包装的表面
积：ππ4)(222+=r S rh ⑼
综合⑷⑸⑹⑻⑼得，牙膏外包装成本3c 与重量w 的关系为：
33
23
223)
(42k w c ρπεαππ+=
⑽
4.根据问题分析，其他成本与牙膏重量w 没有直接的比例关系，设为一个常量Q 。
5.牙膏总成本价格C 与牙膏生产成本1c 、包装生产成本2c 、外包装成本3c 与其他成本Q 关系为:
C=1c +2c +3c +Q ⑾
综合1、2、3、4、5得牙膏价格C 与牙膏重量w 的关系：
C=1k w+
()
3
22ρπαπ
απ+w 3
2k 2+
33
23
22)
(42k w ρπααππ++Q ⑿
据市场调查，单位重量的牙膏成本价格1k =（元/克），牙膏密度ρ=（克/立方厘米），牙膏内包装的单位表面积的包装成本
2k =(元/克),牙膏外包装的单位表面积的包装成本3k =(元∕克),牙膏
的其他成本Q=（元）,牙膏内包装的高于底面半径r 的比值α=,代入数据得：
C=+3
2+
（一） 牙膏单位重量的价格c 与牙膏重量w 的关系： 的模型建立：
很显然，由于w
C
c =
，则有： c=1k +
()
3
22ρπαπ
απ+w 3
1-
k 2+
33
13
22)
(42k w -
+ρπααππ+
w
Q ⒀ 代入数据得：c=+3
1-+1-
利用几何画板作出的函数图象如下： 的图象分析:观察图象，有如下特点:
①图象整体呈现下降的趋势，随着w 的增加c 越来越小，呈现负相关。
②观察图像下降的变化趋势，很显然，由很陡到缓慢，逐渐趋于平缓，即随着w 的增加，c 减小的程度变小，我们可以进一步对c 求导，得到的导函数为：
23
3
433
423
423
2"
2
)
(3412)
(32-
-
--
-+-
+-
=w Q w
k w
k c ρπααππρπαπαπ⒁ 很显然，其导函数在实际意思范围内为负值，即更加说明随着w 的增加，c 在减小。
另一方面，其导函数是一个减函数，从数学意义上讲，原函数的斜率逐渐变小，说明随着w 的增加,c 减小的程度逐渐变小。
3.图象中显示出的实际意义:
由图象分析：随着w 的增加c 减小的程度变小，即意味着若将重量等分为若干连续的重量区间，重量数值大的重量区间所对应的牙膏单位重量的成本c 的变化量要小，这样就导致在实际购买的过程中，消费者购买大包装的牙膏得到的优惠多，并且对于产家而言，也达到了“薄利多销”的目的。
实际上，这样的图象趋势就是反应了市场上消费者的优惠心里和产家“薄利多销”的心里。
五．模型检验
为了提高所建模型的可行性，我们用市场价格每支为元，50g 装的洁银牙膏进行模型检验，而根据我们建立的C-w 函数模型：
C=1k w+
()
3
22ρπαπ
απ+w 3
2k 2+
33
23
22)
(42k w ρπεαππ++Q
得：C=元
六．模型评价
缺点：
1.建立的C-w模型仅是牙膏的成本价格C与重量w的关系，必须要考虑到出售前牙膏对于自身成本价格的利润，所以不能直接对牙膏的市场售价进行估计。
模型中将牙膏外包装抽象为底面为正方形的长方体包装盒，是为了计算方便，实际上，市场上牙膏包装形形色色，为了美观好看，底面也有长方形的，所以在包装成本计算上就会出现误差。
模型中将牙膏的内包装抽象成圆柱体，主要是迎合市场上大多数牙膏的内包装造型，实际上，有的内包装可以抽象成圆台，甚至是圆锥。
优点：
1.该模型的建立通过模型检测，可以大体上对消费者购买
牙膏，以及具有类似现象的其他商品起到指导作用。
2.对于产家而言，可以在牙膏包装的造型上进行合理改
造，降低包装成本，从而达到牙膏总成本的降低，进而获得更大的利润。
3.商家可以进行市场调查，更对消费者在牙膏购买量和购
买喜好上进行问卷调查，从而更科学的改善模型的参数，更好的服务于自身。
4.模型建立过程中，忽略各种包装造型不同、牙膏成分不
同等次要因素，采用多个初等模型，简单直观。