动力学的临界和极值问题教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。

此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。

在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。

这类问题称为临界问题。

在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。

1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。

~【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ）A 、一直加速B 、先减速，后加速C 、先加速、后减速D 、匀加速答案：C【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。

用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()kgm ml +-00 C 、k mgl -0 D 、kg m l 00-./答案：A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为︒45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。

当滑块至少以加速度______=a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。

当滑块以g a 2=的加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。

《【答案：g 、mg 5【例】一个质量为kg 2.0的小球用细线吊在倾角︒=53θ的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以2/10s m 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

》$答案：N 83.2、0【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。

它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k ,C 为一固定挡板。

系统处于静止状态。

现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

(：答案：①()AB A m g m m F a θsin +-=；②()kg m m d B Aθsin +=。

《【例】如图所示，一根劲度系数为k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体A 。

手持一质量为M 的木板B ，向上托A ，使弹簧处于自然长度。

现让木板由静止开始以加速度a （g a <）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间A 、B 分离。

（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。

）答案：①()kaa g m t -=2；②最大：()()a g m M F -+=；最小：()a g m F -=。

解：①分离时弹力为0，而且加速度为a ；；②开始运动时力最大：对系统：()()a m M F g m M +=-+；AB 分离时力最小：对B ：ma F mg =-【例】如图所示，木块A 、B 的质量分别为1m 、2m ，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A 与B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A 与B 间的接触面光滑。

现施加一个水平力F 作用于A ，使A 、B 一起向右运动且A 、B 一不发生相对运动，求F 的最大值。

]答案：()2211tan m g m m m F θ+=【例】如图所示，一质量为m 的物块A 与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m 的物块B 叠放在A 的上面，A 、B 处于静止状态。

若A 、B 粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B ，当拉力的大小为mg 5.0时，A 物块上升的高度为L ，此过程中，该拉力做功为W ；若A 、B 不粘连，用一竖直向上的恒力F 作用在B 上，当A 物块上升的高度也为L 时，A 与B 恰好分离。

重力加速度为g ，不计空气阻力，求恒力F 的大小。

\答案：mg 5.1解：静止时，对AB ：kmgx 2=∆；粘连时，缓慢地提： 》对AB ：()mg L x k F 2=-∆+；又 mg F 5.0=不粘连，分离时：0=N ； 对B ：ma mg F =-； 对A ：()ma mg L x k =--∆；由以上各式可得：mg F 5.1=。

【例】如图所示，质量kg m 10=的小球挂在倾角为︒=37α的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为2/10s m g =）（1）g a 5.01=时，绳子拉力和斜面的弹力大小； （2）g a 22=时，绳子拉力和斜面的弹力大小。

(答案：①N 100 N 50；②N 5100 02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：0=T 。

【例】如下图所示，两绳系一个质量为kg m 1.0=的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长m L 2=,两绳都拉直时与轴夹角分别为︒30和︒45。

问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧、%答案：s rad s rad /16.3/40.2≤≤ω【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为︒60和︒30，物体的质量为m 。

当小车以大小为g 2的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少）/答案：0 mg 5。

3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。

【例】物体A 的质量kg M 1=，静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为kg m 5.0=、长m L 1=。

某时刻A 以s m v /40=向右的初速度滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力。

忽略物体A 的大小，已知A 与B 之间的动摩擦因数2.0=μ，取重力加速度2/10s m g =。

试求:（1）若N F 5=，物体A 在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；（2）如果要使A 不至于从B 上滑落，拉力F 大小应满足的条件。

*答案：①m 5.0；②N F N 31≤≤。

》解：①由牛顿第二定律：对A ：1Ma Mg =μ； 对B ：2ma Mg F =+μ；此后，物体A 将做减速运动，而B 将加速，直到达到共速； 有：t a t a v v 210=-=共 得：s t 25.0= 此时，相对位移m m S S S B A 15.0<=-=相 之后，A 将从B 的左端滑下。

②当F 较小时，A 将从B 的右端滑下，临界条件是：A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度。

当F 较大时，A 将从B 的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，A 、B 相对静止。

此时：m f f =滑。

@【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。

现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么(以g 表示重力加速度)答案：g a 12212μμμμ+≥解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v ，末速度为0），则有：对圆盘：2LS S ≤+减加； 加速阶段：11ma mg =μ；122a v S =加；减速阶段：22ma mg =μ；222a v S =减；^设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为S 。

对桌布：221at S =；由运动情况：2L S S =-加；2121t a S =加。

由以上各式得：g a 12212μμμμ+≥。

【例】如图所示，一质量kg m 500=的木箱放于质量kg M 2000=的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离m l 6.1=，已知木箱与木板间的动摩擦因数484.0，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的2.0倍。

平板车以s m v /220=的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间 （2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少 /答案：①s 4.4；②N 31042.7⨯。

解：①设箱的位移为1S ，车的位移为2S ； 车的加速度为a 。

箱子如果不与车相碰，则有： l S S ≤-21由牛顿定律，对箱：1ma mg =μ；由运动学公式，对箱：12012a v S =；对车：av S 2202=；由以上各式有：2/5s m a ≤，所以s av t 4.40≥=。

②设汽车的制动力为F ，由牛顿第二定律： ）()Ma g m M k F mg =+--μ得：N F 31042.7⨯=【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为μ。

初始时，汽车和木箱都是静止的。

现在使汽车以恒定的加速度0a 开始启动沿直线运动。

当其速度达到0v 后做匀速直线运动。

要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为kg m A 0.2=薄木板A 和质量为kg m B 0.3=的金属块B 。

A 的长度m L 0.2=。

B 上有轻线绕过定滑轮与质量为kg m C 0.1=的物块C 相连。

B 与A 之间的滑动摩擦因数10.0=μ，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。

忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。

起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于A 的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后B 从A 的右端脱离（设A 的右端距滑轮足够远）（2/10s m g =）。

！【例】一圆环A 套在一均匀圆木棒B 上，A 的高度相对B 的长度来说可以忽略不计。

A 和B 的质量都等于m ，A 和B 之间的滑动摩擦力为f （mg f <）。

开始时B 竖直放置，下端离地面高度为H ，A 在B 的顶端，如图所示。

让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。

设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B 再次着地前，要使A 不脱离B ，B 至少应该多长~答案：()H f mg g m L 2228+≥；解：开始释放后，A 、B 一起做自由落体运动， 设其到达地面前瞬间的速度为1v 。