动力学中临界与极值问题一、分离问题相互接触的物体间可能存在弹力，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离．抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题.例1：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。
现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？思考：1 何时分离时？2分离时物体是否处于平衡态。
弹簧是否处于原长？3.如何求从开始到分离的位移？4.盘对物体的支持力如何变化。
练习1．如图3－3－2所示，质量都为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时B与A分离．则下列说法中正确的是()A．B和A刚分离时，弹簧为原长B．B和A刚分离时，它们的加速度为gC．弹簧的劲度系数等于mg/hD．在B与A分离之前，它们做匀加速运动2、如图1所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系有一劲度系数为k的弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小球，小球被一垂直斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变．若挡板A以加速度a（a<gsinθ）沿斜面向下做匀加速运动，求：（1）从挡板开始运动到小球与板分离所经历的时间；（2）从挡板开始运动到小球速度最大时，小球的位移．3.如图a所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接）。
初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图b所示（g-10m/s2），则正确的结论是（）A．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B．弹簧的劲度系数为7.5N/cmC．物体的质量为3kgD．物体的加速度大小为5m/s24．如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA＝(9－2t)N(t单位是s)．从t＝0开始计时，则()A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反5、在一正方形小盒内装一小圆球,盒与球一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑,如图所示. 若不计摩擦,当θ角增大时,下滑过程圆球对方盒前壁压力及对方盒底面的压力将如何变化( )A.N′变小,N变小B.N′变小,N为零C.N′变小,N变大D.N′不变,N变大二、相对滑动问题存在摩擦的物体产生相对滑动的临界条件是静摩擦力取最大静摩擦力，例2．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。
A、B 间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为12μ。
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
现对A施加一水平拉力F，则A．当F < 2μmg 时，A、B 都相对地面静止B．当F =52mgμ时，A的加速度为13gμC．当F > 3 μmg 时，A相对B滑动 D.无论F为何值，B的加速度不会超过12gμ6.如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。
假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。
现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt （k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是（7.如图甲所示，在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体．现对A 施加水平向右的拉力F ，通过传感器可测得A 的加速度a 随拉力F 变化的关系如图乙所示．已知重力加速度g ＝ 10 m/s2，由图线可知( )A ．甲的质量mA ＝2 kgB ．甲的质量mA ＝6 kgC ．甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.2D ．甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.68.如图3—51所示，把长方体切成质量分别为m 和M 的两部分，切面与底面的夹角为θ长方体置于光滑的水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平力推m ，m 才相对M 滑动?9.如图所示，质量为M ，长度为L 的长木板放在水平桌面上，木板右端放有一质量为m 长度可忽略的小木块，木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数均为μ。
开始时木块、木板均静止，某时刻起给木板施加一大小为F 方向水平向右的恒定拉力 ，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）要把长木板从小木块下拉出，拉力F 应满足的条件；（2）若拉力F = 5μ(m + M)g ，求从开始运动到木板从小木块下拉出经历的时间。
10.如图3－3－7所示，在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体，已知mA ＝6 kg 、mB ＝ 2 kg ，A 、B 间动摩擦因数μ＝0.2，在物体A 上系一细线，细线所能承受的最大拉力是20 N ，现水平向右拉细线，g 取10 m/s2，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，A 静止不动 B ．当拉力F ＞12 N 时，A 相对B 滑动C ．当拉力F ＝16 N 时，B 受A 的摩擦力等于4 ND ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止11．如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为mA ＝2.0kg 的薄木板A 和质量为mB ＝3kg 的金属块B.A 的长度L ＝2.0m.B 上有轻线绕过定滑轮与质量为mC ＝1.0kg 的物块C 相连．B 与A 之间的动摩擦因数μ＝0.10，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力．忽略滑轮质量及与轴间的摩擦．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于A 的左端(如图)，然后放手，求经过多长时间B 从A 的右端脱离(设A 的右端距离滑轮足够远，取g ＝10m/s2)．12.质量为m=1.0 kg 的小滑块(可视为质点)放在质量为m=3.0 kg 的长木板的右端,木板上表面光滑,木板与地面之间的动摩擦因数为μ=0.2,木板长L=1.0 m 开始时两者都处于静止状态,现对木板施加水平向右的恒力F=12 N,如图3-12所示,为使小滑块不掉下木板,试求:(g 取10 m/s2)图3-12(1)水平恒力F 作用的最长时间; (2)水平恒力F 做功的最大值.13.如图所示，一夹子夹住木块，在力F 作用下向上提升。
夹子和木块的质量分别为m 和M ，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f 。
若木块不滑动，力F 的最大值是A．()2f M mM+B．()2f M mm+C．()2f M mM+-(m+M)g D.()2f M mm++(m+M)g14.如图3－47，质量，m＝lkg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量M=2kg，斜面与物块的动摩擦因数μ＝0.2，地面光滑，θ=37°，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大?(设物体与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m／s2)三、绳的临界问题：绳连接体临界条件伸直与松驰临界条件是张力为零，拉断临界条件是张力为最大等。
例3、一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，已知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：(1)当车以加速度a1＝g向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力．(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力．15.如图所示,倾角为α的光滑斜面体上有一个小球m被平行于斜面的细绳系于斜面上,斜面体放在水平面上.(1)要使小球对斜面无压力,求斜面体运动的加速度范围,并说明其方向.(2)要使小球对细绳无拉力,求斜面体运动的加速度范围, 并说明其方向.(3)若已知α=60°,m=2 kg,当斜面体以a=10 m/s2向右做匀加速运动时,绳对小球拉力多大?(g取10 m/s2) 四、速度最大和加速度最大的临界条件：当物体受到变化的外力作用而运动时，当合外力最大时加速度最大，当加速度为零时，往往对应速度最大或最小的临界条件。
例4.如图所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧正上方有一个小球自由下落。
从小球接触弹簧上端O点到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的加速度a随时间t或者随距O 点的距离x变化的关系图线是16．如图甲所示，静止在水平地面的物块A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图乙所示。
设物块与地面的静摩擦力最大值f m与滑动摩擦大小相等，则（）（A）0-t1时间内物块A的速度逐渐增大（B）t2时刻物块A的加速度最大（C）t2时刻后物块A做反向运动（D）t3时刻物块A的速度最大（E）0~t1时间内F的功率逐渐增大五、数学表达式解得临界条件例5、如图所示，质量为m的物体放在水平桌面上，物体与桌面的滑动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F。
（1）求物体在水平面上运动时力F的取值范围。
（2）力F一定，θ角取什么值时，物体在水平面上运动的加速度最大？（3）求物体在水平面上运动所获得的最大加速度的数值。
17.（15分）如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。
已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数。
重力加速度g取10 m/s2.（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少。