奈氏判据以复变函数中的幅角原理为数学基础，结 合稳定性判定的需要，选择合适的辅助函数和封闭曲 线，是研究成果的核心。
(1)幅角原理 设有理分式函数
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
F(s) 的值域
则对于s平面上任意一点s，F(s)将其映射到F(s)平面。
G(s)H (s) G(s) H (s) G(s )H (s )
即开环系统闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称。 所选闭合曲线Γ关于实轴对称，则当s沿Γ分别在
IMs≤0 和 IMs≥0 的范围内运动时，G(s)H (s)沿 ΓGH 的相应运动亦关于实轴对称。
根据 ΓGH 的对称性，只需绘制 ΓGH 在 Ims 0，s 的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为 ΓGH 。
F(s) F(s)ds
m
(s zi )
n
(s
p j )
i1
j 1
由于 z1和p1被Γ包围，向量s-z1和s-p1顺时针运动一周
(s z1) (s p1) 2
zi
j °
Ss··1·A Γ°sz2×1p1×pj
0
s平面
设任一zi未被Γ包围，过zi作两条 直线分别与Γ相切于s1、s2点，则
█ F(s)与G(s)H(s)相差常数1，当s沿s平面任意 闭合曲线 Γ 顺时针运动一周时，所产生的闭合曲线 ΓGH沿实轴正方向平移1，即得ΓF。
F (s)平面
j
ΓF
-2 -1 0 1 2 3 4
j
G(s)H (s)平面
ΓGH
-2 -1 0 1 2 3 4
F(s)建立了其极点、零点分别与开环系统极点、 闭环系统极点之间的直接联系。
j
节时，在 s j, (0 , 0 ) 处取
0+ e j
s e j 90 ,90
0 0-
e j
ε为正无穷小量。
j
n+ e j
n
0
n+
e j
n e j
ωo=ωn 即开环系统含有零阻尼振
荡环节时，在 s j, (n ,n )
处取
s jn e j 90 ,90
(4)闭合曲线ΓGH的绘制 由于开环系统传递函数为 实系数有理分式，因此
5.3 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析设计的首要问 题，奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)得到广泛应用。
1. 奈氏判据的数学基础
奈奎斯特是著名的科学家，也是杰出的通信工程和 控制工程专家。1929年，提出关于信道传输和通信速 率的奈奎斯特定理；1933年，提出负反馈系统稳定性 的奈奎斯特判据，成为控制科学和工程领域发展的里 程牌。奈奎斯特在工程技术领域拥有138项发明专利。
(2)复变函数F(s)的选择
系统闭环稳定性的判定一般都利用已知的开环传递 函数，为此选择
F(s) 1 G(s)H (s)
F(s)具有3个特点： █ F(s)的零点为系统的闭环极点，F(s)的极点为 系统的开环极点。
█ 开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分母多项式的阶次，因此F(s)的零极点数相等。
在Γ的s2⌒s1段，s-zi的相角增 大；在Γ的s1⌒s2段，相角减小；
故有 (s zi ) 0 。设任一pj未
被Γ包围,同样可得 (s pj ) 0
分析结论：当s沿s平面任意闭合曲线Γ顺时针运动一 周，F(s)相角的变化取决于Γ所包围F(s)的零极点数。 设Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则
根据开环极点在虚轴上的分布，奈奎斯特曲线的 绘制分为三种情况：
j
0 j s e j
j
j
eeij
0+
e j ei
n+ e j
n 0
ei
:0 : 90 0
e0j-
s
j
e j
0 : 0 90 : 0 : 90 0
s
jn+
jn n eejj j
e j
: 0 n : 90 90
G(s)H
(s)
0 n m或v s0，sej,e:j9,0 :900 0 K n=m, v 0, s e j , : 90 0
n、m分别是开环传递函数分母多
0 j s e j
eeji
:0 : 90 0
项式、分子多项式的阶数，K* 是
是
开环根轨迹增益。开环幅相曲线即为奈奎斯特曲线
e j
j
0 ,90
0
nm
K =0j=e j源自F(s)m
(s
zi
)
n
(s
p
j
)
i1
j 1
(Z P) (2 )
幅角原理 设s平面上闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零 点和P个极点,则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平 面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数
R PZ
R 0、R 0、R 0 分别表示ΓF顺时针包围、逆时 针包围、不包围F(s)平面的原点。
闭合曲线ΓF 包围原点的圈数等于ΓGH包围（-1，j0) 点的圈数。
(3)s平面闭合曲线Γ的选择 Γ的选择有两项要求： ① 包围s的右半平面—在已知s右半平面的开环极
点数时，可由幅值定理确定s右半平面的闭环极点数 ，进而判定系统的闭环稳定性。
② 不通过任一开环极点—开环极点也是F(s)的极
点，按照幅角定理还要求不通过任一闭环极点。
闭合曲线Γ的两种形式：
j
① 虚轴上无开环极点
Γ由两部分组成
s
j
e j
( ,) 90 ，90
虚轴 0
e j
Γ关于 实轴
对称
半径无 穷大的 右半圆
② 虚轴上有开环极点 开环虚轴极点有两种情况，
ωo=0,ωo=ωn≠0。为避开开环虚轴极点，Γ在开环
虚轴极点附近加以扩展。 ωo=0 即开环系统含有积分环
在s平面上任选一条封闭曲线Γ，Γ包围一个零点(z1)和 一个极点(p1)，但不穿过F(s)的任何极点和零点。s从 A点起，沿Γ顺时针运动一周，则相应地F(s)亦从F(A)
起运动一周，形成闭合曲线ΓF
j Γ °z×1p1
zi °
·
A
×pj
0
j F(A)
∠F(A) 0
s平面
F(s)平面
分析s沿Γ顺时针旋转一周，F(s)相角的变化
:n : 90 0
①G(s)H (s)无虚轴极点 ② G(s)H (s) 有0极点 ③G(s)H (s)有虚极点
含有积分环节 含有零阻尼振荡环节
s沿s沿s平s平面面半闭闭合合曲曲线线ΓΓ运运动动的的情情况况
① G(s)H (s)无虚轴上的极点
j
按Γ的半闭合曲线
G(j)H (j)
s j , : 0