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建模 设椅子的四只脚位于点 A,B,C,D,其连线构
成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 A C ,
B D 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
设 f 为 A , C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
g 为B , D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
B1
y B
年 人口（亿）
年 人口（亿）
1908 3.0 1982 10.3
1933 4.7 1990 11.3
1953 6.0 2000 12.95
1964 7.2
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认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。
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第三节 数学模型的例子
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一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上； 假设2 地面是一张连续变化的曲面； 假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
dx dt
r
x
x,
x 0 x 0
⑸
其中r x 是 x 的减函数。进一步假定，设 r x 是 x 的线
性函数，即
rx r s x(r ,s 0 )
⑹
这里r 称为固有增长率。引入 x ，称为人口容量，即
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当 x x 时，人口不再增长，即rx0,代入⑹式
得s r , 于是⑹式为
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模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。
尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。 原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某 种目的有关的那些方面和层次。
模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
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一、形象模型
根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
A1
fg00,2. C C 1
A
o
x
D
D1
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注意到：f,g C 0, 2 ,f0,g0.并且
椅子的四脚落地意味着 fg0.故不妨假设
f00,g00.
则问题归结为是否存在
0
0,
2
,
使得
f0g00.
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解模 由条件对任意 ，有 f0,g0.且
f 20,g20.
1790 3.9 4.2 6.0 1850 23.2 21.7 20.3
1800 5.3 5.5 7.4 1860 31.4 28.6 24.9
1810 7.2 7.2 9.1 1870 38.6 37.6 30.5
1820 9.6 9.5 11.1 1880 50.2 49.5 37.3
1830 12.9 12.5 13.6 1890 62.9 65.1 45.7
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年
人口 年 人口 年 人口 年 人口
1790
3.9 1850 23.2 1910 92.0 1970 204.0
1800
5.3 1860 31.4 1920 106.5 1980 226.5
1810
7.2 1870 38.6 1930 123.2 1990 251.4
1820
9.6 1880 50.2 1940 131.7 2000 281.4
令
h f g ,
则
h
C
0,
2
,
因
h 0 f0 g 0 0 ,
h2f2g20,
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由闭区间连续函数的零点定理知，存在 0
0,
2
,
使得
h0 0.
注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落
地，即
f0 0 g 0 0 .
所以由 h00，即有
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f0g00.
分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条 件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着 人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型 就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修 改后得到的。
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建模 设增长率 r 随人口数量x 的增长而下降，则关
系式⑵可改写成
x
r
x
r
1
x x
.
⑺
把⑺代入方程⑸，得
dx x
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้rx 1
x
,
⑻
x
0
x0 ,
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方程⑻右端的因子 r x 体现人口自身的增长趋势，因子
1
x x
则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。
注意到：x 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人
口的增长是两个因子共同作用的结果。
年 人口（亿）
1625 5
1974 40
1830 10
1987 50
1930 20 1999 60
1960 30
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从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。
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下表是我国在20世纪中人口发展的状况：
数。
200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立
了著名的人口指数模型。
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建模 记时刻 t 时的人口为 x t ，并视其为连续变量，
初始时 t 0 的人口为x 0 ，从 t 到 t t 时间内人口的
增量为 x ，则有
x x t t x t r x t t .
yrta,
⑷
其中：ylnx.alnx0。
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以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 7 4 3 / 1 0 年 ,x 0 4 . 1 8 8 4 .
以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 0 2 2 / 1 0 年 ,x 0 6 . 0 4 5 0 .
1830
12.9 1890 62.9 1950 150.7
1840
17.1 1900 76.0 1960 179.3
表1 美国人口数据统计
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⑴指数增长模型
一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 x 0 ，
年增长率为 r ，则以后第 k 年的人口为
xk x01rk.
⑴
在上面的问题中，假定人口的增长率 r 是一个不变的常
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在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：
对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。
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注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。
令t 0,则得到 x t 应满足的微分方程：
dx
d
t
rx
.
⑵
x 0 x 0
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由这个方程容易解得：
xtx0ert.
⑶
当 r 0 时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故
称为指数增长模型。
参数估计：⑶式中的 r和 x 0 可以用表1中的数据进行
估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得
水航行时有关系
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xy30750,
当船只逆水航行时，有
yx50750,
即有方程组
x y30 750, y x50 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
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容易求出该问题的解：y20,x5。即船速为
20km/h，水速为5km/h。
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建立模型的过程就称为数学建模。
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第二节 数学建模的重要意义
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一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。
二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少 的工具。
三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓 了许多新的处女地。
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四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
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例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。
求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为y ，则当顺
合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国
人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明
显放慢，此时模型不再适合了。
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年 人口
x1 x2 年 人口
x1 x2
1910 92.0
68.4 1970 204.0