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南 京 农 业 大 学 试 题 纸
2011-2012学年 第2 学期 课程类型：必修 试卷类型：B
课程 常微分方程 班级 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 签名
得分

一、填空题（每小题3分，本题共30分）
1．方程2231)(dsrddsdr是 阶方程．
2. 若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为
__________________________________________.

3．若)(),...(),(21txtxtxn为n阶齐次线性方程在区间I上的n个解，则它们线性无关的充要条件是
__________________________________________.

4. 方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件
是 .

5. 方程21ddyxy的常数解是 ．
6．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
7. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．

8. 求(,)dyfxydx满足00)(yx的解等价于求积分方程____________________的连续解.
9. 函数()atfte的Laplace 变换是 ．

10. 方程212ydxdy经过（0，0）点的解的存在区间是 ．
二、计算题（每小题5分，本题共20分）
求解下列微分方程：

11. xyxy2e3dd

本试卷适应范围
信息与计算科学

装
订
线

装
订
线
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12. 0xxx
13．0)2()(2dyyxdxyx
14. 52dyxydxxy
三、计算题（每小题10分，本题共30分）
15. 求下列方程组的通解．











yxtyyxtx4
d

d

d
d
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16. 用常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程()().dyPxyQxdx
17. 讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切
解.

四、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.
设),(yxf及yf连续,试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因

子.
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19．设 (),()pxqx都是区间 (,)上的连续函数, 且(),()xx是二阶线性方程
0)()(yxqyxpy
的一个基本解组. 试证明:

(i) (),()xx都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零)；
(ii) (),()xx没有共同的零点；
(iii) (),()xx没有共同的零点.
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常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7
一、填空题（每小题3分，本题共30分）
1．二 2． )()]()([1211xyxyxyC 3． ()0Wt或00()=0,WttI

4．)(xNxNyM 5.1y 6. n 7. 充分
8. 00(,)xxyyfxydx 9. 1,Resasa 10. ,
二、计算题（每小题5分，本题共20分）
11. 解： 齐次方程的通解为 xCy3e (3分)

令非齐次方程的特解为 xxCy3e)(
代入原方程，确定出 CxCx5e51)(
原方程的通解为
xCy3e

+x2e51 （5分）

12. 解： 对应的特征方程为：012，
解得ii23,23212211 （3分）

所以方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext （5分）

13. 1yM，
xN


=1 , xNyM

所以此方程是恰当方程. （3分）
凑微分，0)(22xdyydxydydxx

得
Cyxyx
23
3

1

（5分）

14． 5,1,dydtxytdxdx令则
1,(7)77dtttdtdxdxt原方程化为：变量分离
（3分）

2
1
772txct两边积分

2
1
7(5)7.2(5)xyxcxy代回变量
（5分）
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三、计算题（每小题10分，本题共30分）
15．特征方程为 01411EA,

即 0322.
特征根为 31，12. （4分）
31

对应特征向量应满足






00314
131

1
1

b

a

可确定出











2
1

1
1

b

a

同样可算出12对应

的特征向量为





2
1

2
2

b

a

所以，原方程组的通解为




ttttCC
y

x

2ee2e
e

2331
（10分）

.
16．解： (),dyPxydx （1）

这是一个变量分离方程，通解为(),Pxdxyce这里c是任意常数。 （4分）
假设()()Pxdxycxe是()()dyPxyQxdx的通解，代入方程，则有
()()()PxdxdcxQxedx



积分后得到
()()(),PxdxcxQxedxc



（8分）

这里c是任意常数，方程的通解为
()()(())PxdxPxdxyeQxedxc



（10分）

17. 解：设f(x,y)= 2331y,则)0(2132yyyf
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故在0y的任何区域上yf存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件. （4分）

显然，0y是通过点（0，0）的一个解； （6分）

又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx
所以，通过点（0，0）的一切解为0y及
|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx （10分）

四、证明题（每小题10分，本题共20分）
18. 证明：必要性 若该方程为线性方程,则有)()(xQyxPdxdy ,

此方程有积分因子dxxPex)()(,)(x只与x有关 . （4分）
充分性 若该方程有只与x有关的积分因子)(x,
则0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程,

从而dxxdyyxfx)()),()(( ,)()(xxyf,
)()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf





.

其中)()()(xxxP . （8分）
于是方程可化为0))()((dxxQyxPdy
即方程为一阶线性方程. （10分）

19．证明：
(),()xx

的朗斯基行列式

为
()()()()()xx
Wxxx


因(),()xx是基本解组, 故
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()0,()WxxR
.

若存在 0xR, 使得

00
()()0xx
, 则由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾. 即 ()x最多只能有简单零点. 同理对
()x



有同样的性质, 故(i)得证.

若存在 0xR, 使得 00()()0xx, 则由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾. 即 (),()xx无共同零
点. 故(ii)得证

若存在 0xR, 使得 00()()0xx 则同样由行列式性质可得 0()0Wx, 矛盾.

(),()xx


没有共同的零点.. 故(iii)得证.