第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。
二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。
四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。
五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。
会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。
六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。
所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。
关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。
【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。
【典型例题】。
的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。
的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。
下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。
满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x解：由公式法得]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +⎰⋅⎰=---⎰]d e e 2[e 2c x x x x x +⋅=-⎰)e 2e 2(e c x x x x +-=31)0(=⇒=c y 由x x x y e 3e )1(22+-=所求特解为 的通解。
求微分方程例046=+''y y042=+λ解：特征方程为i 22,1±=λ特征根为x c x c y 2sin 2cos 21+=通解为的特解。
满足求例1)0(,0)0(e 2657=='=+'-''y y y y y x0652=+-λλ解：特征方程为特征根为3,221=λ=λ ∴x x c c y 3221e e +=对应齐次方程的通解为x A y e *=设原方程的一个特解为1=A 由待定系数法得∴x x x c c y y y e e e *3221++=+=原方程的通解为1,11)0(,0)0(21-===='c c y y 得由x x x y e e e 32+-=所以所求特解为 考试题型 试题分为填空题、单项选择题和计算题(包括应用题)，其中填空题和单项选择题的分数占总分数的30%左右，此类题目主要考查课程中所学的概念、公式、性质等知识，并配有一些经过简单计算就能得出结果的小计算题；试卷中计算题(包括应用题)的分数占总分数的70%左右，主要考查学生对课程中所学过的基本计算方法和技能的掌握情况。
总之，同学们要在认真完成平时作业的基础上，对照考核说明有的放矢地重点复习。
另外，考虑到成人和开放教育的特点，本课程是半开卷考试，同学们要认真整理和利用好A4备考纸，最后祝同学们考出好成绩。
第二部分 综合练习一、填空题（每小题2分，共12分）1.若='-=))((,13)(2x f f x x f 则 。
2.=→x x x x sin 1sinlim 20 。
3.函数f (x )=x x e 在点____________处取得极小值。
4.若⎰⎰-+=x x f c x F x x f d )32(,)(d )(则= 。
5.=⎰+∞e 2)(ln d x x x。
收敛的必要条件。
是级数∑∞=1___________.6n n a 二、单选题（每小题2分，共12分） 1.1)1(2-+=x x x y 在（ ）时为无穷小量。
∞→-→→→x D x C x B x A .1.0.1.. 2.若f (x )在x =0x 处连续，则有（ ）。
处可微在00)(.)()(lim .0x x x f B x f A x f A x x =≠=→ 点可导在00)(.)()(lim .0x x x f D x f x f C x x ==→ 3.曲线。
内是在区间)(),4()6(2+∞-=x x yA .单调增加且凸的B .单调增加且凹的C .单调减少且凸的D .单调减少且凹的4.设。
则)()(,d cos )(3='=⎰x g t t x g x ax x D x C x B x x A cos 3.cos .cos .cos 3.2332 5.以下命题正确的是（ ）。
∑∞=∞→⇒=10lim .n n n n a a A 收敛 B . 收敛级数∑∞=1n n a 部分和∑==n k k n a s 1有极限C .p 级数∑∞=11n p n 当p <1时收敛D .级数∑∞=1n n a 与级数∑∞=1n n b 发散，则级数)(1n n n b a +∑∞=发散6.下列微分方程中，（ ）是可分离变量的微分方程。
x y y B xy y x y A -=+'+++='e .1.22y y x x y D y x y C d )(d .ln ln 1.2-=++=' 三、计算题（本题6分）求幂级数∑∞=+113n n n x n 的收敛区间。
四、计算题（每小题6分，共18分）)ln 11(lim .11x x x x --→y x a y x '-=-求),3ln(.2。
3.由方程x y x y y y x xy d d ),(0e 2求确定==-+。
五、计算题（每小题6分，共18分） 1.⎰xx d sin 2.⎰⋅-⋅x x xx d 32532 3.xx x d e )2(202⎰+六、计算题（每小题8分，共16分）1.求y x y -='2e 满足1)0(=y 的特解。
2.求x y y y e 232=-'+''的通解。
七、应用题（每小题9分，共18分）1.求内接于抛物线22x y -=与X 轴所围区域内的矩形的最大面积。
2.求由曲线22y x x y =-=与所围成平面图形的面积。
【参考答案】一、填空题（每小题2分，共12分） 1.12742-x 2. 0 3.1-=x 4.c x F +-)32(215.16.0lim =∞→n n a二、单选题（每小题2分，共12分）1.B2. C3. B4. A5. B6. A三、计算题（每小题6分，共18分） 1.x x x x x x ln )1(ln lim 21-+-=→原式x x x x x x 1ln 121lim 1-++-=→ 11ln 14lim 1+++-=→x x x23-= 2.)1(31)3ln(ln )1(-⋅-⋅+-⋅⋅-⋅='--x a x a a y x xx x a x a a y xxd )3)3ln(ln (d -+-⋅⋅-=∴-- 3.021)(e ='⋅-+'+y y y x y xy xy xyx y y x y e 2e 1d d -+= 四、计算题（每小题6分，共18分） 1.⎰⋅==t t t t x d 2sin 令原式c t t t ++-=sin 2cos 2c x x x ++-=sin 2cos 22.x x d ))32(52(⎰-=原式c x x+-=32ln )32(52 3.⎰+=302de )2(2x x 原式⎰-+=3022d e 203e )2(2x x x x23e 6=五、计算题（每小题8分，共16分）1.x y x y d e d e 2=c x y +=∴2e 21e21e 1)0(-=⇒=c y 由21e e 21e 2-+=∴x y2.对应齐次方程的通解为：x x c c y e e231+=- 设原方程的一个特解为21,e *==A Ax y x 由待定系数法得 故原方程的一个特解为x x y e 21*=因此原方程的通解为：x x x x c c y e 21e e 231++=- 六、计算题（本题6分）)31,31(3lim 1-∴=+∞→收敛区间为n n n a a Θ七、应用题（每小题9分，共18分）1.设矩形与抛物线在第一象限的交点为（x ，y ）则所求面积S = 2xy =324x x -914,32,0==⇒='y x S 由 因此最大矩形面积为2756914322=⨯⨯=S 2.所围面积x x x S d ))((102---=⎰31=。