②
2S 89 S 44 1
2.
求：C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
L
2
(2n
1)Cnn
Cn0 3Cn1 5Cn2 L (2n 1)Cnn
Cnn 3Cnn1 5Cnn2 L (2n 1)Cn0 .
评注：由于等差数列{2n+1}中首末两端等距离的两项之
和相等，数列{Cnk } 中与首末两端等距离的两项相等，因
解
和式中第 k 项为 ak＝1＋12＋14＋…＋2k1－1＝11－－1212k＝21－21k.
∴Sn＝21－12＋1－212＋…＋1－21n
＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋212＋…＋21n)] n个
＝2n－1211－－1221n＝2n1－1＋2n－2.
五 .倒序相加法：
此类问题首末两端等距离的两项存在某种关系（如相等、和相 等等情况）
62) L
282 292 (
2
302 )
10 [ (3k 2)2 (3k 1)2 (3k)2 ] 10 [9k 5] 9 10 11 25 470
k 1
2
k 1
2
2
七、数学归纳法
12 22 32 L n2 n(n 1)(2n 1) 6
此类问题可变形为“ an bn cn ”的数列( bn 为等差数列， cn 为等比数列)
例 2．求和： Sn
1 2 3 L 248
n
2n
.
2.求数列 a, 2a2 , 3a3 ,L , nan ,L ( a 为常数)，的前 n 项的和。
三、裂项相消法
此类问题可变形为“ an f (n 1) f (n) ”的数列( f (n) 为关于 n 的表达式)
例 5．求 sin2 1 sin2 2 sin2 3 ... sin2 88 sin2 89 的值。
解：设 S sin2 1 sin2 2 sin2 3 ... sin2 88 sin2 89
①
S sin2 89 sin2 88 ... sin2 3 sin2 2 sin2 1
数列求和
一、常用公式法
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
Sn
na1 a1 (1
q
n
)
1 q
a1 anq 1q
(q (q
1) 1)
例 1：求数列1, a, a2 , a3,L , an 的各项之和。
1
Snห้องสมุดไป่ตู้
n 1
1
a n 1
1 a
(a 0) (a 1)
(a 0, a 1)
二、错位相减法
此可采用倒序相加法，在等比数列求解中，也可借组于
此法解题。
六、配对求和法
次类问题相邻两项（或更多项）求和后具有某种特点（如相等、
成一等差或等比数列）
100
例 6．求 1n n2 。
i 1
100
解： 1n n2 1002 992 982 972 972 962 … 42 32 22 12
例 3．求数列{
1
}的前 n 项和
n1 n
Sn n 1 1
1、 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
2、 1
n1 n
n n1
3.n n! (n 1 1)n! (n 1)! n!
2.数列
1
3 22
5 , 22 32
7 , 32 42
,L
2n 1 , n2 (n 1)2
i 1
199 195 … 7 3 （199 3）50 5050 。
2：数列 {an } 的通项
an
n2 (cos2
n
3
2
sin2
n
3
) ，其前 n
项和为
Sn
，
则【解 S30析为】由47于0{cos。2 n sin2 n }以 3 为周期,故
3
3
S30
12 22 (
2
32 ) ( 42 52 2
,L
的前 n 项和
四、分组转化法
此类问题可转化为“ an bn cn ”的数列( bn 、 cn 为等差或等比数列)
例4．已知集合A＝{an|an＝2n＋9n－4，n∈N且an＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和.
10
2501
2.求和 Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋41＋…＋2n1－1.