第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念第二章 (对应学生用书(文)、(理)1～2页)考点新知1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A ，则m ＝________．答案：－32解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a ∈N }，用列举法可以表示为________． 答案：{}0，1，2，3解析：因为a ∈N ，且0≤a<4，由此可知实数a 的取值为0，1，2，3.3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ÍB ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (原创)设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则A 、B 的关系是________．答案：A ＝B解析：化简得A ＝{x|x ≥1}，B ＝{y|y ≥1}，所以A＝B.5. (必修1P 17第8题改编)满足条件{1}ÍM Í{1，2，3}的集合M 的个数是________． 答案：4个解析：满足条件{1}ÍM Í{1，2，3}的集合M 有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．1. 集合的含义及其表示 (1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ÍB 或B ÊA ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”． ② 真包含关系：如果A ÍB ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 正确理解和运用集合概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a ≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________． 答案：－1<a ≤0解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a 的取值范围是－1<a ≤0.变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N. 答案：真包含于题型2 集合元素的互异性例2 已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a ，0，且A ÍB ，B ÍA ，求a－b 的值．解：∵ A ÍB ，B ÍA ，∴ A ＝B.∵ a ≠0，∴ a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ ba＝－1，∴ b ＝1，a ＝－1，∴ a －b ＝－2. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝{a ，a ＋b, a ＋2b}，B ＝{a ，ac, ac 2}．若A ＝B ，则c ＝________．答案：－12解析：分两种情况进行讨论．① 若a ＋b ＝ac 且a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0.当a ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0.∴ c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1.但c ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解．② 若a ＋b ＝ac 2且a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0. ∵ a ≠0，∴ 2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又c ≠1，故c ＝－12.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 013＋b 2 014的值．解：由于a ≠0，由ba ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1. 所以a 2 013＋b 2 014＝－1.题型3 根据集合的含义求参数范围例3 集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}． (1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ；当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上所述，当m ≤3时有B Í A. (2) 因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4.或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解． 综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．若A ÍB ，求实数a 的取值范围．解：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x|(x －a)(x ＋a ＋3)>0}．① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠－32，所以A ÍB 恒成立； ② 当a<－32时，B ＝{x|x<a 或x>－a －3}．因为A ÍB ，所以a>－4或－a －3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－32；③ 当a>－32时，B ＝{x|x<－a －3或x>a}．因为A B ，所以－a －3>－4或a<－8(舍去)，解得－32<a<1.综上，当A ÍB 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．1. 设集合A ＝{x|x ＜2}，B ＝{x|x ＜a}，且满足A 真包含于B ，则实数a 的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：利用数轴可得实数a 的取值范围是(2，＋∞)．2. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中元素的个数为________．答案：10解析：B 中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x －1≤2}和N ＝{x|x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2 解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x|－1≤x ≤3}，得M ∩N ＝{1，3}，有2个．5. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为________．答案：8解析：(1) ∵ P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，∴ 当a ＝0时，a ＋b 的值为1，2，6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3，4，8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6，7，11，∴ P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P ＋Q 中有8个元素．1. 已知A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，若实数a ∈A ，则a 的取值范围是________． 答案：[－1，3]解析：由条件，a 2－2a －3≤0，从而a ∈[－1，3]．2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2013＋b 2 013＝________． 答案：－1解析：由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.3. 已知集合A ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －（a 2＋1）＜0. (1) 当a ＝2时，求A ∩B ；(2) 求使B 真包含于A 的实数a 的取值范围． 解：(1) A ∩B ＝{x|2＜x ＜5}． (2) B ＝{x|a ＜x ＜a 2＋1}．①若a ＝13时，A ＝Æ，不存在a 使B ÍA ；②若a ＞13时，2≤a ≤3；③若a ＜13时，－1≤a ≤－12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－12∪[2，3]． 4. 已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值． 解：由题意知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1， ∴ a ＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2， ∴ a ＝0即为所求．1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A B ，则需考虑A ＝和A ≠两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。