2020年中招数学复习考前考点模拟导航练实数与向量相乘（解析版)1．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．32．已知向量，若与共线，则( ) A ．B ．C ．D ．或3．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 4．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-r rrrrr5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r 用向量a b ⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r6．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1 C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r7．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点．下列结论不正确的是（ ）A ．AB v ∥BC vB ．AD AE DE -=v v vC ．DB FE =-v vD ．DB DE FE DE ++=v v v v9．下列各式不正确的是（ ）．A ．0a a -=r r rB ．a b b a +=+r r r rC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r10．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反11．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r；B ．a r ∥b r；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r．12．已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果BC uuu r =a r ， DC b =u u u r r ，那么BO uuu r等于（ ）1r r 1r r 1r r r r13．如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为，则=_______________.14．单位向量有______个，不同单位向量是指它们的______不同．15．如果()322a b a b +=-r r r r ，那么用a r表示b r 为______．16．设12,e e u r u u r是两个不共线向量，则向量()12b e e R λλ=+∈r u r u u r 与向量122a e e =-r u r u u r 共线的充要条件是_______________.17．一条渔船距对岸4km ，以2km /h 速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.18．若()1123032x a b c xb ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭r r r r r r r ，其中a r 、b r 、c r为已知向量，求未知向量x r．19．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ,AD 2,AB ,.1EA(a b 3a BC b DB ===u u u r u u u r u u u r r r r r 如果（）求用向量、的式子表示）；(2)求作向量1a 2b -rr （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．20．已知非零向量,a b rr ．求作：(23)3(2)a b b a +--r r r r参考答案1．C 【解析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 2．D 【解析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．C 【解析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 4．D 【解析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r rrrrr，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键. 5．B 【解析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =，∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键． 6．D 【解析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识. 7．C 【解析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m =0时不成立；④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n =，正确；【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键． 8．B 【解析】根据三角形法则，结合图形，即可判断出不正确的选项． 解：∵点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点， ∴DE ∥BC ， ∴∥，A 选项正确；﹣=，B 选项错误；=﹣，C 选项正确；++=，D 选项正确；故选B ． 9．D 【解析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键. 10．D根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题． 11．D 【解析】根据平行向量以及模的知识求解即可. 【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r ，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识. 12．A 【解析】∵,BD BC CD =+u u u v u u u v u u u v∴,BC a DC b ==u u u v u u u v v v ，∴BD a b =-u u u v vv∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB =OD ，∴BO uuu v ＝()12a b -rr .【点睛】考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则． 13．【解析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论. 【详解】 解：∵如图：∴.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数是关键. 14．无数 方向 【解析】根据单位向量定义解答即可. 【详解】单位向量是单位为1 的向量，所以单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同. 【点睛】本题考查单位向量的定义，明确定义是解题的关键.15．14b a =-r r【解析】根据实数与向量相乘法则化简即可.【详解】解：3222a b a b +=-r r r r2+223b b a a =-r r r r4b a =-r r14b a =-r r 故答案为14b a =-r r . 【点睛】本题考查了平面向量是有关计算，平面向量的加法计算满足结合律和交换律．16．12λ=-【解析】 根据两个向量平行的关系，写出两个向量共线的充要条件，设1221(2)e e k e e λ+=--u r u u r u u r u r ，整理出关于k 和λ代入的关系式，把λ入用表示，得到关于k 的方程，解方程组即可.【详解】解：设1221(2)e e k e e λ+=--u r u u r u u r u r ，则12k kλ=⎧⎨=-⎩ 解得12λ=-； 故设12,e e u v u u v 是两个不共线的向量，则向量12()a e e R λλ=+∈r u r u u r 与向量212b e e =-r u u r u r 共线的充要条件是12λ=-.故答案为：12-. 【点睛】本题考查向量共线的充要条件，注意充分条件与必要条件的区别与联系.17．/h【解析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.【详解】解：如图，设AB u u u r 表示船垂直于对岸的速度，BC uuu r表示水流的速度， 则由AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，AC u u u r 就是渔船实际航行的速度，航行的时间为()422,h ÷=在Rt ABC ∆中，2/,824/AB km h AC km h ==÷=，23/BC km h =u u u r ∴【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键. 18．4112177x a b c =-+r r r r 【解析】数乘向量满足结合律、分配律，计算求出x r即可．【详解】 解：2113203222x a b c x b ---++=r r r r r r r 721102322x a b c -+-=r r r r r 72112322x a b c =-+r r r r 4112177x a b c =-+r r r r 【点睛】本题考查了平面向量的计算，熟练掌握平面向量的计算法则是解决本题的关键.19．(1)EA u u u r =25a r +25b r ；(2)取点AB 的中点M ，作NB uuu r =BC uuu r ，连接MN u u u u r ，则MN u u u u r 即为所求． 【解析】试题分析：（1）由DE ∥BC ，AD :DB ＝2:3，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE ：AC =2：5，又由ABu u u r ＝a r ,BC uuu r ＝b r ，利用三角形法则，即可求得AC u u u r ，继而求得答案； （2）取点AB 的中点M ，作NB uuu r =BC uuu r ，连接MN u u u u r ，则MN u u u u r 即为所求．试题解析：（1）∵DE ∥BC ，∴AE :AC ＝AD :AB ="2:5" ，∵AB u u u r ＝a r ，BC uuu r ＝b r ，∴AC u u u r =AB u u u r +BC uuur =a r +b r ， ∴EA u u u r =25AC u u u r =25（a b r r +）=25a r +25b r ； （2）取点AB 的中点M ，作NB uuu r =BC uuu r ，连接MN u u u u r ，则MN u u u u r 即为所求．考点：平面向量20．图详见解析，53a b -r r【解析】先将所求向量进行化简，然后根据三角形法则即可求出答案．【详解】解：(23)3(2)a b b a +--r r r r＝2363a b b a +-+r r r r ，＝53a b -r r ．根据三角形法则，（1）以|5a r |和|3b r|的长为三角形两边长作三角形； （2）向量AC 即为53a b -r r ．AC u u u r 即为所求．【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意掌握三角形法则是关键．。