2 2 2 1 2 3 2 2
c m0
由此可见，高阶模的临界波长更小些。对传输工作波长的几 种情况讨论如下： （1） （2）c
c m0 , 此光波大于0阶的临界波长，此波不能在波导内传播。
此时只有 m 0 的零阶模可以传输，即单 , c m1 m0
模运行。 （3） c 这样的光波对 m 及 m 0 阶模均可被传输，发生 , m
上只有磁场分量。而TM波的H矢量在波导的横截面上，在传播方向上
只有电场分量。
TE波(a)和TM波(b)的形成
可以认为，薄膜中的TE波是由垂直偏振的平面波即S波在薄膜边 界上反射而成，而TM波是由E为水平偏振（在入射面内振动）的平面 波即P波在边界上反射而成。 对于TE波，其电场只有Ey分量(Ez=0)，磁场包括了Hx、Hz分量。 而TM波其磁场只有Hy分量(Hz=0)，而电场包括了Ex、Ez分量。 可以由时谐电磁场的麦克斯韦第一、二方程讨 论
对P波
sin i (n3 / n1 ) n1 tan 2 cos i n3
P
2
22 Leabharlann / 2sin i (n2 / n1 ) n1 tan 2 cos i n2
P
2
2
2 1/ 2
多模传输。
还需指出，对于对称薄膜波导 n2 n3 , 可以得到， c
这时特征方程变成
m0
,
这说明对称波导没有截止波长，任何波长的波均可在对称波导内传播。
2
2
0
2h
2 h n12 n2 2m
由此可算出对波长为 0 的光波，该波导内所允许传播的模式个数为
m
0
2 n1
( AB BC )
2 n1
AM
对 S波
sin i (n3 / n1 ) tan 2 cos i
S
2
2 1/ 2
sin i (n2 / n1 ) tan 2 cos i
S
2
2 1/ 2
H y Ex dH y i Ez dx dEz i E i0 H y x x
这两组方程是完全独立的，可分别求解，得出两组独立的解。第
一组方程中电场矢量只包含了Ey分量，因而解得的是TE模；第二组 方程的磁场矢量只包含了Hy分量，因而解出的是TM模。 对于TE模，求出Ey分量后，可以求得
TM 0、TM1、TM 2 模， m 表明各模式的阶数，称为波指数。

2
0
2n1h cos i 2n1hk0 cos i 2m ,
当 m 0 时， n1hk0 cos i kx h , 即其场沿x方向变化不足 半个驻波。 其场沿x方向变化不足两个“半 驻 波”。m越大，导波的模次越高，m表示了导波场沿x方向（薄膜横向） 出现的完整半驻波个数。 由特征方程还可以看出，在其他条件不变的情况下，当m增加时， 当 m 1 时，
2 n12 n2
虽然射线法讨论薄膜波导物理概念清楚易懂，获得了有价值的结论， 这些结论不仅适用于薄膜波导，对认识其他形式的介质波导也是很有价 值的。但对更详细的场分布、传输功率、场方程等问题就无法解决。因 此必须要用另一种方法—应用电磁场理论—来求电磁波在介质波导这样 一种特殊边界条件下的波动方程解 ，在此基础上再去分析传播模的特性。
针对现在讨论的无穷大平板介质波导，考虑到y方向无限大， 场在该方向不受限制，因而可得 0; 又考虑到光是沿z向传输，
y
沿该方向场的变化可用一个传输因子e ik z z 来表示。为了普适地讨论
电磁波在三层介质中的情况，记
为 k1z、k2 z、k3 z， 表示实波矢
z
的z分量。由此得到导波的传播因子 e i z , 因而有 i , 式中
2 sin 2 i (n2 / n1 )2 n1 tan 2 cos i n2
P
1/ 2
0, 即刚刚发生
sin 2 i (n2 / n1 ) 2 tan 2 cos i
S
1/ 2
i c arcsin(n2 / n1 ), 可得：对S波
波导中含三种色散 材料色散 指波导介质材料本身的色散，即当折射率随入射光波波长 变化所带来的色散。 模式色散 在多模介质波导中，一个信号同时激发不同的模式，即使 是同一频率，各模式的群速度也是不同的。 波导色散 为满足特征方程，对同一个m值即同一个波导模，不同的波长对应于
不同的入射角。这就是说，对于不同波长的光，即使没有材料色散存在，
的平面波波阵面。这两个波在
为 2 m 时，干涉加强，方可在波导内形成振荡，即可以在波导内存在并传
播。这两个波之间的相位差可以求得

0 0 2 [2n1h seci 2n1h tan i sin i ] 0 2 2n1h cos i 0
特征方程中 2n hk cos 2k h, 1 0 i x
表示了电磁波在横跨薄膜
（即沿x方向）时的相位差。 、 是波在界面上的相位跃变， 因此，薄膜波导的特征方程表示了由波导中某点出发沿波导横
向往复一次回到原处，总的相位变化应是 2 的整数倍。这使
原来的波加强，即相当于波在波导的横向谐振，因而成为波导的 横向谐振条件。不仅薄膜波导，任意波导都具横向谐振特性。
对于所讨论的各向同性的均匀介质， , 0 都是标量，把E、H用直角坐标 下的三分量代入后展开，可得到以下公式。
H z i Ex y ik z H y H z i E y ik z H x x H y H x i Ez x y i H Ez ik E 0 x z y y i H ik E Ez 0 y z x x E y Ex i0 H z x y
当满足干涉加强条件时，

2
0
2n1h cos i 2n1hk0 cos i 2m ,
m 0,1, 2,3,
式中， k 是传输光波在真空中的波数； 0
n1 是介质波导的中间层折射率；
i 为波导内的入射角。
上式称为薄膜波导的特征方程，或叫作薄膜波导的色散方程。
k z 越小。在电磁场解法中将把 k z 记为 . 所有模式中，TE0 , TM 0
模次最低，故
最大。
波导的截止波长 在射线法中，截止波长可直接由全反射的临界角求得。按假定
n1 n2 n3 , 临界角由下面衬底的折射率 n2 决定 sin c n2 / n1.
当处于临界状态时，界面Ⅱ上的相位跃变 全反射时的临界状态的入射角
第六章 光波在介质波导中的传播
1. 薄膜介质波导一般概念
如图，均匀介质薄膜波导的的
纵向剖面，由三层均匀介质构 成。 中层折射率为 n1 , 厚度为 h , 另外两层折射率分别为 n2 , n3 , 即衬底及覆盖敷层。 为限制光波于介质中间传导层中，应使 介质薄膜波导
n1 n2 , n1 n3
sin Ic n3 / n1
sin IIc n2 / n1
若 n2 n3 , 则取 sin IIc 为波导的临界角。
波动理论法则是把薄膜波导中的波看作是满足介质平板波导边 界条件的麦克斯韦方程组的解。此时，在波导的中间介质层中波以 行波传输，衬底和覆盖层中则是一种倏逝波，光波能量就是由介质 表面引导下在波导内传输的，此时所传输的波称之为导行波。若当 入射角小于临界角时，一部分能量由界面折射后不再回到介质n1中， 此时无法导行光波。这种波成为辐射波。
但由于波导的谐振条件的要求，波在波导内经过一段距离传输后，将因 为入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波导的时间，因此将引
起信号失真。

2
0
2n1h cos i 2n1hk0 cos i 2m ,
导波的模式

2
0
2n1h cos i 2n1hk0 cos i 2m ,
kx h 2 ,
i 减小。这表明高次模是由入射角 i 较小的平面波构成的。
当
i 较小时，平面波的射线倾斜比较严重，其横向相位常数 k x
大，驻波密集。
导波模式的横向相位常数 k n k cos , 导波模式的轴向相位常数 x 1 0 i
i 越小，因而 kz n1k0 sin i . 对于给定的波导和工作波长，模次越高，
2. 射线法分析薄膜波导
特征方程及横向谐振特性 按射线法的原则，光波在薄膜波导中向z方向传播可看作是无限 大均匀平面波在界面Ⅰ及Ⅱ上依次反射，形成之字形传播路径。
如图，薄膜波导中光的入射面为xoz平面。
考察某一时刻经A反射后向下传播的平面波，其波阵面到达
(MC所示)，
而
面又是在前一时刻传播的平面波经B反射到达界面Ⅰ，又经C反射后的 面上重叠会产生干涉，只有当两波相位差
是z方向的相位常数。将上述关系代入方程组，可得到6个标量方程。
这6个标量方程又可分为两组，一组只含Ey, Hx , Hz三个分量，另一组
只含Hy, Ex, Ez三个分量，即
E y 0 H x dE y i0 H z dx dH z i H x i E y x
3. 用电磁理论求解薄膜介质波导
用电磁理论分析薄膜介质波导，就是求满足边界条件时麦克斯
韦方程的解，在定态条件下就是求解亥姆霍兹方程
2 E k 2 E 0 2 H k 2 H 0
在此基础上再分析其特性。
薄膜波导中的TE波和TM波