（3）
∂H z + j β H y = jωε 0 n 2 Ex ∂y ∂H z − jβ H x − = jωε 0 n 2 E y ∂x ∂H y ∂Hx − = jωε 0 n 2 Ez ∂x ∂y
∂ = 0 ，把这个关系代 ∂y
（4）
假设电磁场在y方向上不随坐标y变化，即
入方程（3）（4），就可以得到电磁场的两种模式：TE模和TM模 TE模 模
TM模：把磁场垂直于光的传输方 向（也就是z轴），这种电磁场分 布称为横磁模
波动 方程
+ (k 2n 2 − β 2 ) E y = 0
TE模：把电场垂直于光的传输 方向（也就是z轴），这种电磁 场分布称为横电模
2
TE模的色散方程 模的色散方程
x = ±a
κ = k 2 n 2 − β 2 1 其中 2 σ = β 2 − k 2 n0 ξ = β 2 − k 2 ns2
Acos(k x −φ)cos(k y −ψ ) x y −γ x ( x−a) Hy = Acos(kxa −φ)e cos(ky y −ψ ) −γ y ( y−d ) cos(ky d −ψ ) Acos(kx x −φ)e
2 -k x2 -k y + k 2 n12 − β 2 = 0 k x、k y、 2 2 2 -γ x -k y + k 2 n0 − β 2 = 0 γ x、γ y 2 2 2 的关系 -k x + γ y + k 2 n0 − β 2 = 0
（1 ）
% ∂H % ∇ × E = -µ 0 ∂ t （2），得到电 把它代入麦克斯韦方程： % 磁场的分量方程： 2 ∂E % ∇ × H =ε 0n ∂t
∂Ez + j β E y = − jωµ0 H x ∂y ∂Ez − j β Ex − = − jωµ0 H y ∂x ∂E y ∂Ex − = − jωµ0 H x ∂x ∂y
β Hx = − Ey ωµ0 j dE y Hz = ω µ 0 dE x Ex = Ez = H y = 0
d 2Ey dx 2
TM模 模
Ex = Ez = −
β Hy 2 ωε 0 n
j dH y
（6）
（5）
ωε 0 n 2 dx
Ey = H x = H z = 0 d 1 dH y β2 ( 2 ) + (k 2 − 2 ) H y = 0 dx n dx n
（12）
（13）
u , w, w 和归一化频率 υ 的关系： u 2 + w2 = k 2 a 2 (n12 − ns2 ) ≡ υ 2 （14）
归一化横波数
w , = γυ 2 + w 2 2 n s2 − n0 γ = 2 n1 − n s2
（15）
根据
β ns ≤ ≤ n1 κ
2 1
• 通常，芯区和包层的折射 率差很小，即 n1 ≈ n0 ，有 2 O(n12 − n0 ) ≈ 0 阴影区的折 射近似为：
2 2n0 − n12 ≈ 0
x 用分离变量法计算E pq 模的 色散方程：
、β y
Hx (x, y) = X (x)Y(x)
2
把上式代入波动方程：
2 1 d X 1d Y 2 2 2 2 2 O(n12 − n0 ) + k N x ( x) + + k N y ( y) = β 2 2 X dx Y dy 2 β β 假设β 2 =β x2 + β y ， x 是关于x的独立的常数， y 是关于y的
β aA2 sin 2 (u + φ ) sin 2 (u − φ ) + Pcore = 1 + ( −a ≤ x ≤ a ) , 2ωµ0 2w 2w β aA2 co s 2 (u + φ ) Psub = ( x ≤ −a) 2ωµ0 2w β aA2 cos s 2 (u − φ ) Pclad = ( x > a) , 2ωµ0 2w
kyd = （q-1） + tan ( ) ky 2
传播常数
y
Hale Waihona Puke π−1γy
和TE模的色 模的色 散方程类似
2 β 2 =k 2 n12 − (k x2 + k y )
分析 E pq模的场分布：
A cos(k x x − φ ) cos(k y y −ψ ) 区域1 −γ x ( x − a ) H x = A cos(k x a − φ )e cos(k y y −ψ ) 区域2 −γ y ( y − d ) cos(k y d −ψ ) 区域3 A cos(k x x − φ )e
y x E pq pq模、
1 马卡梯里法
矩形波导是三维波导，首先 用马卡梯里法分析它的模式 特性。马卡梯里法对矩形波 导做了一个近似：大部分的 光功率在波导芯中传输，芯 区之外的包层（阴影区）光 的传输功率很小，导模的电 磁场衰减的很快，可以忽略 它们的影响。
马卡梯里法把复合模 近似的分析成两个独 立的关于x轴和y轴对 称的三层平板波导。 x E pq 模在区域1-3 分析 的场分布：
再利用在 件得出：
（7）
（8）
x = ± a处，
dE y dx
连续的边界条
κ A sin(κ a + φ ) = ξ A cos(κ a + φ ) σ A cos(κ a − φ ) = κ A sin(κ a − φ )
消去A
w tan(u + φ ) = u = κa u （10） w = ξ a w, tan(u − φ ) = , w =σa u
κ >0
，光场被限制在芯区中，就必须满足条件：
（16）
定义有效折射率
β ne = κ
（17）
• 当 ne < ns 时，导模截止，辐射模产生。通常把 导模的截止条件。 定义一个新参数——归一化传播常数b：
β =kns
n −n b= n −n
2 e 2 1
2 s 2 s
（18）
(0 ≤ b ≤ 1)
总的传输功率 P = Pcore +Psub + Pclad
sin (u + φ ) sin (u − φ ) 1+ + Pcore 2w 2 w, = 引入功率限制因子 Γ = 1 1 P 1+ + , 2w 2w
β aA2 1 1 = (1 + + ,) 2ωµ0 2w 2w 2 2
3 TM模的色散方程 模的色散方程
2
忽略小量
独立的常数
1 d2X + k 2 N x2 ( x)=β x2 X dx 2 1 d 2Y 2 2 2 + k N y ( y) = β y 2 Y dy
n ( x, y ) = N ( x ) + N ( y ) + O ( n − n )
2 2 x 2 y 2 1 2 0
其中
n12 2 ( y ≤ d ) n 2 ( x ≤ a) 2 2 N y ( y )= 2 2 N x ( x)= 2 2 n0 - n1 2( x > a ) n0 - n1 2( y > d )
解（6）的波动方程以及 H y 在 x 边界条件，得到磁场分布是：
= ± a 处连续的
A cos(κ a − φ )e −σ ( x − a ) ( x > a ) H y = A cos(κ x − φ )(−a ≤ x ≤ a ) A cos(κ a + φ )eξ ( x + a ) ( x < −a )
n 折射率关系： 折射率关系： 1 > ns > n0
解（5）的波动方程以及Ey 在
处连续的边界条件，得到电场分布是：
Acos(κ a −φ)e−σ ( x−a) ( x > a) Ey = Acos(κ x −φ)(−a < x < a) Acos(κ a + φ)eξ ( x+a) ( x < −a)
基本的微分方程及波动方程： 基本的微分方程及波动方程：
• 把 表示E 模的电磁场的表达式代入麦氏方程， 得出电磁场分量之间的关系以及波动方程 Hx = 0 Hy = 0 ∂2 H y ωµ0 1 ∂2H x 1 E = Hy + Ex = x 2 2 β ωε 0 n β ∂x ωε 0 n 2 β ∂x 2 2 ∂ Hy ωµ0 1 ∂ 2 Hx 1 E = − Hx − Ey = y 2 β ωε 0 n 2 β ∂y 2 ωε 0 n β ∂x∂y j ∂H x j ∂H y Ez = Ez = − 2 ωε 0 n 2 ∂y ωε 0 n ∂x j ∂H x j ∂H y Hz = − Hz = − β ∂x β ∂y ∂2 H y ∂2 H y ∂2 H x ∂2 H x + + (k 2 n 2 − β 2 ) H x = 0 + + (k 2 n 2 − β 2 ) H y = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2
区域1 区域2 区域3
π φ =（p-1） 2 ( p, q = 1, 2,3K) π ψ = （q-1） 2
1 ∂H y ∂H y 、 利用在x=a,y=d处 2 连续的边界条件，得出色散方程： n ∂x ∂y 2 π −1 n1 γ x 和TM模的色 模的色 kx a = （p-1） + tan ( 2 ) 散方程类似 2 n0 k x