高超声速飞行器鲁棒控制系统的设计Christopher I. Marrison and Robert F. StengelPrinceton University, Princeton, New Jersey 08544本文设计了高超声速飞行器纵向平面鲁棒控制系统。

飞行器纵向平面的非线性数学模型包含了28个不确定参数。

利用遗传算法搜索每个控制器的系数设计空间；利用蒙特卡洛算法检验每个搜索点处的稳定性和鲁棒性。

补偿器的鲁棒性用概率函数来表示，该函数表示在参数可能变动范围内，闭环系统的稳定性等性能指标落入允许范围的概率。

设计了一性能指标函数，使其最小，从而产生可能控制器系数空间。

这种设计方法综合考虑了不同的设计目标，辨识了鲁棒性指标下的系数的不确定性。

这种方法有效利用了计算工具，广泛考虑了工程知识，设计出了能够应用于实际的控制系统。

本文中用到的符号：a ——声速，ft/sD C ——阻力系数L C ——升力系数()M C q ——俯仰角速率引起的俯仰力矩系数()M C α——攻角引起的俯仰力矩系数()M C E δ——舵偏引起的俯仰力矩系数T C ——发动机推力系数c ——参考长度，80ftD ——阻力，lbfh ——高度，ftyy I ——俯仰转动惯量，6710⨯slug-ft 2L ——升力，lbfM ——马赫数yy M ——绕俯仰轴的转动力矩，lbf-ftm ——质量，9375slugsq ——俯仰速率，rad/sE R ——地球半径，20 903 500 ftr ——距地心距离，ftS ——参考面积，3603ft 2T ——推力，lbfV ——速度，ft/sα——攻角，radβ——喷管开度γ——弹道倾角，radE δ——舵偏角，radμ——地球引力常数，161.3910⨯ft 3/s 2ρ——空气密度，slugs/ft 3引言高超音速飞行给控制系统的设计提出了新的挑战。

极高速度使得飞行器对飞行条件的变化非常敏感，例如，高度110 000ft ，速度15Mach （15 060 ft/s ），攻角增加1°就会产生11.5ft/s 2的法向加速度，即大概g 的过载。

对于传统的飞行器配置方案，长周期振动有可能轻微发散或者不稳定，短周期振动可能不稳定，推力幅值也易受到攻角变化的影响。

大气特性以及气动参数测量上的困难加剧了这个问题。

但是，高超声速飞行器的飞行控制系统必须保证飞行器总是处于稳定状态，对于飞行员及自动驾驶仪的指令有满意的响应特性，外界的干扰对飞行器不会产生难以接受的附加运动。

本论文设计了满足上述要求的控制系统，重点考虑了参数不确定性条件下的鲁棒性。

随机鲁棒性分析用概率P 量化了补偿器ς欠鲁棒性的程度，补偿器ς模型参数的变化将会引起闭环系统不可接受的响应特性。

概率函数P 的一种简单的设计方案是将某个指标函数在不确定参数变动空间上积分，即[(),]pr()P I H d ννςνν=⎰ (1) H 表示飞行器的数学模型，ν是不确定参数的可能变动空间；pr()ν是ν的概率密度函数。

[]I 是双指标函数，如果()H ν和ς构成一个可以接受的系统其值为零，反之为1。

Fig.1描述了空间划分为可接受和不可接受区域。

性能不可接受的标准由设计者制定，例如，可以指定为不确定性，不满足响应包线，超过了控制器的阈值限制。

这种概率设计原则可以应用于线性或非线性、时变或非时变、连续或者离散系统的设计。

在多数情况下，方程(1)并不能直接进行数值积分。

实际中常用蒙特卡洛方法1替代pr()ν，它利用了不确定参数ν的随机采样值。

每次试验的个体选择记为k ν。

对于每个k ν，检验闭环系统的响应特性，以检验其是否满足可接受条件。

例如，线性系统的稳定性指标函数其值为1，如果其闭环系统的特征值存在实部为正的情况；反之其值为0。

性能指标函数，例如阶跃响应的超调量或者稳定时间超过设计允许范围，其值为1；反之为0。

从空间ν中N 次采样，重复进行蒙特卡洛试验。

N 值取决于所需要的精度。

方程(1)可以用下式进行估计： 11[(),]N k P I H N νς==∑ (2)当N →∞时上式逼近精确值。

性能特性和稳定性的概率估计综合在一起考虑不仅可以用来描述控制系统的鲁棒性，而且可以用来设计鲁棒控制器2-10。

对于特定应用的补偿器的设计是一个主观过程，需要对很多指标进行权衡考虑，有时这些性能指标根本不能比较。

这种权衡可以考虑将各个概率赋以主观权重，用标量性能函数J 来表示。

如果补偿器ς中的参数能够用常值向量d 来表示，那么P 和J 是d 的函数，鲁棒控制系统的设计是要使下面的性能指标函数最小：21ˆˆ()[()]M m m m J w p ==∑d d(3)其中，M 是稳定性和性能指标的数量，ˆ()m pd 是第m 个准则函数，m w 是第m 个准则函数的权重。

参考文献[10]针对线性控制问题利用线搜索（line search ）设计了鲁棒补偿器，文献[11]利用遗传算法来估计ˆ()Jd 的最小值。

上述方法得到的补偿器鲁棒性非常强，控制失败的概率远低于按其它方法设计的控制器8。

文献[10]中的线搜索是一种有效但费时的方法；遗传算法相比下减小了一个数量级的计算量11。

随机鲁棒性分析和设计方法对传统设计方法进行了补充，它的稳定性和性能指标函数都是基于传统设计准则。

如果关注的是频率特性，很容易将频域性能指标加入到指标函数中去。

但是需要注意的是，幅值增益和相位裕度并不是鲁棒性的可靠指标9。

理由很简单：实际参数变动时，并不只是引起幅值增益和相位裕度的变化，也会影响那奎斯特图的形状。

最大奇异值会引起增益裕度的多元化，并影响鲁棒性，原因也是如此7。

本文利用蒙特卡洛方法和遗传算法12-15解决复杂问题：在高度110 000ft ，马赫数15的飞行条件下进行高超音速巡航飞行器的飞行控制系统的设计。

该飞行器的数学模型为纵向平面内的模型，包含了重要的非线性影响因素。

我们考虑了39个稳定性和性能鲁棒指标准则，因此较其它鲁棒性设计方法的适应性更强。

该设计方法利用一种巡航飞行条件进行了检验，并容易扩展到其它飞行条件，利用增益调度方法将结果扩展到全部飞行包线。

高超音速飞行器的数学模型纵向平面的数学模型包含了重力模型的平方反比定律，以及由弯曲的飞行轨道引起的向心加速度。

在高度110 000ft ，马赫数15飞行条件下，非旋转地球的向心加速度大小为10.8ft/s 2。

速度，飞行倾角，高度，攻角，和俯仰角速度的数学方程分别如下： 2cos sin T D V m r αμγ-=- (4) 22sin ()cos L T V r mV Vr αμγγ+-=- (5)sin h V γ= (6)q αγ=- (7) /yy yy qM I = (8) 升力、阻力、推力、俯仰力矩、距地心距离分别为：212L L V SC ρ= (9)212D D V SC ρ= (10)212T T V SC ρ= (11)21[()()()]2yy M M M M V Sc C C E C q ραδ=++ (12) E r h R =+(13) 空气动力系数和大气参数是飞行器状态和控制量的函数，在仿真中通过查表插值或者曲线拟合得到。

此处利用相对简单的函数来表示参考巡航点处的气动参数。

大气密度和声速模型来源于参考文献[16]，气动参数借鉴NASA Langley 高超声速飞行器仿真模型17。

此处设计中，28个与惯量、推力、气动等有关的参数假设为不确定的，v 表示不确定向量ν中的一个元素。

这些参数为：10m v m = (14)20yy I v I = (15)30S v S = (16) 40c v c =(17) 80.00238exp()24,000h v ρ-= (18)924567(8.99109.1610996)a v v h v h --=⨯-⨯+ (19)/M V a = (20)109 1.91(0.493)L v C v M α=+ (21)2211121314150.0082(171 1.152)(0.00120.0541)D C v v v v M v M αα=++⨯-+ (22) 218161701738[1164()](1)v k v v Mαα=--+ 1919(10.15),1(10.15),1T k v if C k v if ββββ+<⎧=⎨+>⎩ (23)21342202223()10[0.06][21201]v M M C v e v v ααα--=--+- (24)224252627()(/2)(0.025 1.37)(0.00210.00530.23)M C q c V qv v M v v αα=-+⨯-+- (25) 28()0.00051()M C E v E δδα=- (26)方程(4)~(26)定义了飞行器的数学模型()H ν。

此处每个v 假定服从正态分布，均值为1，标准偏差为0.1，这样就定义了pr()ν。

常用的变量如机翼面积和平均气动弦长此处假定未知。

在实际中，应考虑变量的不确定性，但不确定性很小时，可作为确定值处理。

将变量的不确定性假设为正态分布，这样能够保证不稳定性的概率永远不为零，这是由于变量两侧的分布趋向于正或负无穷。

将每个v 取值为1，得到标称系统。

在蒙特卡洛试验中，每个v 值由随机数发生器产生，这种方法并不仅限用于正态分布情况。

不确定性可以用恰当的概率分布来表示，例如均匀分布，多峰分布，离散分布。

将飞行器纵向平面数学模型线性化，得到巡航飞行条件下特征点处（M =15，h =110 000ft ，q =0deg/s ，0γ=deg ）的开环特征值-0.895，0.784，-0.00021±0.0362j ，0.00011。

特征点（平衡点）利用非线性模型计算得到。

前两个特征值表示不稳定的短周期运动模态，复数特征值表示轻微震荡的长周期运动模态，最后一个特征值表示高度模态存在轻微不稳定18。

这样，必须设计稳定的反馈控制系统限制巡航条件下姿态和高度的发散。

巡航特征点处的非线性模型的响应特性由攻角、推力、舵偏等确定，这些变量提供力和力矩，保证飞行器的稳定、水平飞行。

确定特征点后，能够得到非线性模型的阶跃响应。

利用鲁棒性能准则评估变量的响应特性。

稳定性和性能准则此处控制系统的设计中主要关注三个方面的鲁棒性：稳定性，速度响应特性和高度响应特性。

它们用39个指标函数来表示。

特征点及其邻域范围内的稳定性利用相应的线性化模型来判断（准则1），稳定性由闭环系统的特征值决定19。

有19条准则（准则2~20）根据施加在非线性模型上的速度阶跃响应（速度变化100ft/s ）决定，见表1。