高超音速飞行器的数学模型
纵向平面的数学模型包含了重力模型的平方反比定律， 以及由弯曲的飞行轨道引起的向 心加速度。在高度 110 000ft，马赫数 15 飞行条件下，非旋转地球的向心加速度大小为 10.8ft/s2。速度，飞行倾角，高度，攻角，和俯仰角速度的数学方程分别如下：
T cos D sin V m r2
原名 Design of Robust Control Systems for a Hypersonic Aircraft，盛晓婷翻译 1
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.21(1), 1998
——喷管开度
——弹道倾角，rad E ——舵偏角，rad
ˆ (d ) [ w p ˆ2 J m m (d )]
m 1
M
(3)
ˆ m (d ) 是第 m 个准则函数， wm 是第 m 个准则函数 其中， M 是稳定性和性能指标的数量， p
的权重。参考文献[10]针对线性控制问题利用线搜索（line search）设计了鲁棒补偿器，文献
ˆ (d ) 的最小值。上述方法得到的补偿器鲁棒性非常强，控制失败 [11]利用遗传算法来估计 J
M V / a
CL v9 (0.493 v101.91 ) M
(21) (22)
CD v11 0.0082(v12171 2 v131.15 2) (v14 0.0012 M 2 v15 0.054 M 1)
k v16 38[1 v17164( 0 )2 ](1
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.21(1), 1998
高超声速飞行器鲁棒控制系统的设计
Christopher I. Marrison and Robert F. Stengel Princeton University, Princeton, New Jersey 08544 本文设计了高超声速飞行器纵向平面鲁棒控制系统。 飞行器纵向平面的非线性数学模型 包含了 28 个不确定参数。利用遗传算法搜索每个控制器的系数设计空间；利用蒙特卡洛算 法检验每个搜索点处的稳定性和鲁棒性。 补偿器的鲁棒性用概率函数来表示， 该函数表示在 参数可能变动范围内， 闭环系统的稳定性等性能指标落入允许范围的概率。 设计了一性能指 标函数，使其最小，从而产生可能控制器系数空间。这种设计方法综合考虑了不同的设计目 标，辨识了鲁棒性指标下的系数的不确定性。这种方法有效利用了计算工具，广泛考虑了工 程知识，设计出了能够应用于实际的控制系统。 本文中用到的符号： a ——声速，ft/s
V sin h
(6) (7) (8)
q
M yy / I yy q
升力、阻力、推力、俯仰力矩、距地心距离分别为：
1 V 2 SCL 2 1 D V 2 SCD 2 1 T V 2 SCT 2 L M yy 1 V 2 Sc [CM ( ) CM ( E ) CM (q)] 2
性能不可接受的标准由设计者制定，例如，可以指定为不确定性，不满足响应包线，超过了 控制器的阈值限制。这种概率设计原则可以应用于线性或非线性、时变或非时变、连续或者 离散系统的设计。 在多数情况下，方程 (1) 并不能直接进行数值积分。实际中常用蒙特卡洛方法 1 替值。每次试验的个体选择记为 k 。对于每个 k ，
原名 Design of Robust Control Systems for a Hypersonic Aircraft，盛晓婷翻译 2
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.21(1), 1998
检验闭环系统的响应特性，以检验其是否满足可接受条件。例如，线性系统的稳定性指标函 数其值为 1，如果其闭环系统的特征值存在实部为正的情况；反之其值为 0。性能指标函数， 例如阶跃响应的超调量或者稳定时间超过设计允许范围，其值为 1；反之为 0。从空间 中 N 次采样， 重复进行蒙特卡洛试验。 N 值取决于所需要的精度。 方程(1)可以用下式进行估计：
v1817 ) M
(23)
4
k (1 v19 0.15) , if 1 CT k (1 v19 0.15 ), if 1
原名 Design of Robust Control Systems for a Hypersonic Aircraft，盛晓婷翻译
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.21(1), 1998
(4)

L T sin ( V 2 r ) cos mV Vr 2
(5)
原名 Design of Robust Control Systems for a Hypersonic Aircraft，盛晓婷翻译
3
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P I [ H ( ), ]pr( )d
(1)
H 表示飞行器的数学模型， 是不确定参数的可能变动空间； pr( ) 是 的概率密度函数。
I [] 是双指标函数，如果 H ( ) 和 构成一个可以接受的系统其值为零，反之为 1。Fig.1 描
述了空间划分为可接受和不可接受区域。
CM ( ) 104 v20 [0.06 e v21 M 3 ][ 2v22 2 120v23 1]
(24)
CM (q ) (c / 2V )qv24 (0.025v25 M 1.37) (0.0021v26 2 0.0053v27 0.23) (25)
——地球引力常数，1.39 1016 ft3/s2
——空气密度，slugs/ft3
引言
高超音速飞行给控制系统的设计提出了新的挑战。 极高速度使得飞行器对飞行条件的变 化非常敏感， 例如， 高度 110 000ft， 速度 15Mach （15 060 ft/s） ， 攻角增加 1°就会产生 11.5ft/s2 的法向加速度，即大概 g 3 的过载。对于传统的飞行器配置方案，长周期振动有可能轻微 发散或者不稳定，短周期振动可能不稳定，推力幅值也易受到攻角变化的影响。大气特性以 及气动参数测量上的困难加剧了这个问题。 但是， 高超声速飞行器的飞行控制系统必须保证 飞行器总是处于稳定状态， 对于飞行员及自动驾驶仪的指令有满意的响应特性， 外界的干扰 对飞行器不会产生难以接受的附加运动。 本论文设计了满足上述要求的控制系统， 重点考虑 了参数不确定性条件下的鲁棒性。 随机鲁棒性分析用概率 P 量化了补偿器 欠鲁棒性的程度， 补偿器 模型参数的变化将 会引起闭环系统不可接受的响应特性。概率函数 P 的一种简单的设计方案是将某个指标函 数在不确定参数变动空间上积分，即
m v1m0
I yy v2 I 0
(14) (15) (16) (17)
S v3 S0
c v4 c0
0.00238exp(
h ) v8 24, 000
(18)
a v5 (v6 8.99 109 h 2 v7 9.16 104 h 996)
(19) (20)
L ——升力，lbf M ——马赫数
M yy ——绕俯仰轴的转动力矩，lbf-ft
m ——质量，9375slugs q ——俯仰速率，rad/s
RE ——地球半径，20 903 500 ft
r ——距地心距离，ft S ——参考面积，3603ft2 T ——推力，lbf V ——速度，ft/s ——攻角，rad
CM ( E ) 0.00051v28 ( E )
(26)
方程(4)~(26)定义了飞行器的数学模型 H ( ) 。 此处每个 v 假定服从正态分布， 均值为 1， 标准偏差为 0.1，这样就定义了 pr( ) 。常用的变量如机翼面积和平均气动弦长此处假定未 知。在实际中，应考虑变量的不确定性，但不确定性很小时，可作为确定值处理。将变量的 不确定性假设为正态分布， 这样能够保证不稳定性的概率永远不为零， 这是由于变量两侧的 分布趋向于正或负无穷。将每个 v 取值为 1，得到标称系统。在蒙特卡洛试验中，每个 v 值 由随机数发生器产生， 这种方法并不仅限用于正态分布情况。 不确定性可以用恰当的概率分 布来表示，例如均匀分布，多峰分布，离散分布。 将飞行器纵向平面数学模型线性化， 得到巡航飞行条件下特征点处 （M=15， h=110 000ft， q=0deg/s， 0 deg）的开环特征值-0.895，0.784，-0.00021±0.0362j，0.00011。特征点 （平衡点）利用非线性模型计算得到。前两个特征值表示不稳定的短周期运动模态，复数特 18 征值表示轻微震荡的长周期运动模态，最后一个特征值表示高度模态存在轻微不稳定 。这 样，必须设计稳定的反馈控制系统限制巡航条件下姿态和高度的发散。 巡航特征点处的非线性模型的响应特性由攻角、推力、舵偏等确定，这些变量提供力和 力矩，保证飞行器的稳定、水平飞行。确定特征点后，能够得到非线性模型的阶跃响应。利 用鲁棒性能准则评估变量的响应特性。
1 P N
I [ H ( ), ]
k 1
N
(2)
当 N 时上式逼近精确值。性能特性和稳定性的概率估计综合在一起考虑不仅可以用来 描述控制系统的鲁棒性，而且可以用来设计鲁棒控制器 2-10。 对于特定应用的补偿器的设计是一个主观过程， 需要对很多指标进行权衡考虑， 有时这 些性能指标根本不能比较。这种权衡可以考虑将各个概率赋以主观权重，用标量性能函数 J 来表示。如果补偿器 中的参数能够用常值向量 d 来表示，那么 P 和 J 是 d 的函数，鲁棒 控制系统的设计是要使下面的性能指标函数最小：