西南科技大学2014-2015学年第2学期半期考试试卷
22212(0,)1(0,)21(0,)
2(,)2(2)0;(,)2ln 10
0,1/-------211(0,)2(2)|2(2)1(0,)4|011(0,)(2)|0,0------5x y xx e
xy e
yy e f x y x y f x y x y y x y e A f y e e B f xy e C f x e e y AC B A 分
分
=+==++=∴====+=+=====+=->>
111(,)(0,)(0,)--------2f x y f e e e
在驻点处取得极小值分∴=- 4、设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)D
f x y x y f u v dudv =+⎰⎰，其中D 由1,2,1y y x x ===围成，求(,)f x y 解:
2111(,);(,)(,)-------311()()24
1,--------52
1(,)+--------12
D D
y D A f u v dudv f x y x y f u v dudv x yA A x yA dxdy dy x yA dx A A f x y x y 设分
两边求二重积分分故分==+=+=+=+=
+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5、计算三重积分()⎰⎰⎰Ω
+dv y x 22，其中Ω是由曲面()z y x =+222与平面4=z 所围成的区域。

解:()⎰⎰⎰Ω+dv y x 2223r rdrd dz 分θΩ=---⎰⎰⎰
224
3002r d r dz πθ=⎰⎰ (
)2320042d r dr πθ=-⎰ 8------63
分π=
6、计算曲线积分222(1)(1)y y L
xe dx x e dy ++-⎰,其中L 为自点(4,0)A 沿上半圆周 22(2)4x y -+=到点(0,0)O 的一段弧。

解：22221,1,2y y y Q P P xe Q x e xe x y
∂∂=+=-==∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。

（4分） (4,0)A ,02222224
(1)(1)(1)(1)(1)=12y y y y L AO xe dx x e dy xe dx x e dy x dx ++-=++-=+-⎰⎰⎰（5分） 四、证明题(共6分)
1、设函数(,)z x y 由方程(,)0z z F x y y x +
+=所确定，证明z z x y z xy x y
∂∂+=-∂∂ 证明:公式法: 1212122211;;-------3-------3x y z y x z z z z F F F F F F F F F x y y x F F z z x y x y z xy x y F F 分分--=+⋅
=⋅+=⋅+⋅--∂∂+=⋅+⋅=-∂∂。