a) b)
c)
❖ 等直径均布质量的转子，在二端刚性支承、无阻 尼的条件下，转子的自振频率 n c n 为
ncn
n2
2l2
EI / FS1
n 1,2,3
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率，
它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按 照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率 。
由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相 同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频 率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1,nc2,nc3 。 转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小，
e BS (x) ia(x)
(x)
nn
n1
❖ 对于n阶质心分布BnSn(x) ，将只能激发同阶的振形， 而且主要在同阶临界转速区域激发。
❖ 任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自 激发的不同阶的振形在空间的合成。
❖ 影响临界转速的因素 ❖ （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 ❖ （二）转子结构型式对临界转速的影响 ❖ （三）叶轮回转力矩对临界转速的影响 ❖ （四）轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响
第一项很快衰减为

0；
第二项为：
（ （） ） 1
n
2
n
2 ＋ i2
n
e i t ;
其幅值及角度为：
A
（
n
）2
；
1
（
n
）2
2 ＋
4
2 n
2
tan(
)
2 1 （
n
n
）2
;
z A e i ( t－ )， z 为轴心位置 ;
结论1
❖ 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种
❖ 单圆盘转子模型
最简单的转子模型是单圆盘转子。轴两端为简支，一 个圆盘固定在轴的中部(图1),A1CA2为静挠度曲线。
假设转轴以角
速度 自转，转
轴中心位置为（x， y）。原平衡位置为 原点。
.. .
mxcxkxm2cost()
.. .
mycykym2sin(t)
令 z x iy
..
z
2
n
.
齐次方程解：
y k1et k 2 et 、 为方程 x 2 ax b 0的解。
或 y (k1 k 2 t) et 方程特解：
（ 1） 不是方程的解，令
y(t) Q (t) e t
（ 2） 是方程的解，令 y ( t ) tQ (t ) e t
（ 3） 是方程的重解，令
y(t) t2 Q (t) e t
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线） S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
SnxAnsinKnxAnsinnlx
n1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所 示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在 节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
Q (t )与 (t )同为 m 次多项式
对于
..
.
y a y b p (t ) iq (t )
可分别求
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若 u (t )、 v(t )为上述二方程的特解
则特解为 y u (t ) iv (t )
有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性
运动，一是圆盘以角速度绕自己轴心
的自转，一是轴心以角速度绕圆盘的
静挠曲线的涡动。 ❖若无阻尼（ ＝0），当 n时，振幅趋
于无限大。由于实际中存在阻尼，此时 振幅会达到一个有限的峰值。
结论2
< n = n
> n
》 n
结论2
❖ 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频 率相同，即和转动频率相同；
❖ 涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜ 时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
❖
n 时》， 为n ，90相~1位80差。为180，即质心位与原点
与轴心之间。
❖ 与没有阻尼的相比，有阻尼的情况下，临界 转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少。同 时，随阻尼的增大，临界转速的数字将有所 增加，但增加量很小。
z
2 n
z
2
e i t
其中
2 n
k
m ;
c 2m n,
称为阻尼比
;
方程的解为：
z
A et
B
e t
n2＋ 2i
2 n
e i t
2
、 ＝－ n 2 1 n 一般 0 1；
z K e n t sin( 1 2 n t )
2＋
n
2 i
2 n
2 e i t ;
❖ ❖
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都 不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例， 对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透 平转子的临界转速分别下降 了18%、16.3%和40%。
1c 2
EI
FL4
2c (2)2
EI
FL4
3c (3)2
EI
FL4
❖ 转子的振形为：
AS S(x)n 1n 2 22
n
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即 任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任 意的转子质心空间分布分解为：
❖ 临界转速时，振幅滞后于激振力90。
❖ 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过 程中形成的激振力与转子系统发生共振时的 转速。
结论3
❖ 在一定转速下，由于原点、轴心、质量偏心 的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点 在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形 回转”。这时转子的变形形状在转动过程中 保持不变，转子不承受交变
转子动力学基本理论
基础数学知识
.
.
y a y by f ( t )
f (t) (t) et
f ( t ) ( t ) e t sin( t )
f ( t ) ( t ) e t cos( t )
( t ) 为 m 次多项式
统一为：
f (t) (t) et
其中 ＝ ＋ i
应力。（忽略静挠度）
结论4
❖ 在一定的转速下，振幅与激振力的幅值成正 比，振幅向量滞后与激振力的相位角不变。 这就是刚性转子加平衡的理论依据。
等直径、均布质量转轴的临界转速
由于透平转子相当长，直径又相当大。因此，用一个集 中质量来代替转子的质量并不能反映分布质量对临界转速的 影响。为此，我们需要研究等直径转子的临界转速问题。