动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为
该月的值。
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7
M A 6 .5 ( y 1 y 2 y 1 2 )/1 2
M A 7 .5 (y 2 y 3 y 1 3 )/1 2
(2.1.5)
因为12是偶数，通过求平均值可以达到中心化，即中心化 移动平均值为
M A 7 y 1 y21 2 y 1 2y2 y3 1 2 y 1 3 2 (2.1.6)
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2
4991.50
单位：亿元
3871.49
2751.49
1631.48
511.47 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
4204.20 单位：亿元
3304.66
2405.12
1505.59
606.05 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
第二章 经济时间序列的 季节调整、分解与平滑
本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方 法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解， 指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。
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1
一、经济时间序列的分解
经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期 趋势要素T、循环要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。
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6
例如，常用的三项移动平均
MAt
11 3i1
yt
i
两端补欠项：
M1A132y1 y2
t2,,T1 (2.1.2)
(2.1.3)
MTA132yTyT1
1.1.2 中心化移动平均
(2.1.4)
考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12
个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移
时间序列数据 y = {y1, y2, … , yT} ，T 为样本长度，在时
点 t 上的2k+1项移动平均值 MAt 的一般表示为
1 k
M t A 2 k 1i kyt i, tk 1 ,k2 ,.T . .k ,
(2.1.1) 式中的k为正整数，此时移动平均后的序列{MA}的始端和末端 各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。
上面介绍的12个月中心化移动平均是二次移动平均，也 可以用一次移动平均(2.1.7)式表示，这种移动平均方法就叫做 加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用的 加权移动平均方法。
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9
除了上述移动平均方法外，X-11季节调整法中还采 用亨德松(Henderson)的5, 9, 13和23项加权移动平均。选 择特殊的移动平均法是基于数列中存在的随机因子，随 机因子越大，求移动平均的项数应越多。
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图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形 3
二、季节调整的概念
季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响， 而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中 的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份 或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一 度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造 成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季 节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其 他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的 分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必 须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这 就是所谓的“季节调整” (Seasonal Adjustment)。
中心化移动平均的一般公式为
11 6
15
M At 212i5yti 12i6yti
t7,8, ,T6
11
5
1
122yt6i5可y编t 辑ippt 2yt6
(2.1.7)
8
需要指出的是由于采用12个月中心化移动平均后，序列 的两端各有6个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其 补齐。
2.1.3 加权移动平均
长期趋势要素 (T ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素 (C ): 是以数年为周期的一种周期性变动。 季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4 个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和 政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是 固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周 期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。 不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动 无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、 意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误 差等。
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4
§2.1 移动平均方法
移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简单 的，是算术平均的一种。它具有如下特性：
1. 周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周 期性变动基本得到消除;
2. 互相独立的不规则变动得到平滑。 这两条特性可以证明。
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2.1.1 简单的移动平均公式
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10
§2.2 经济时间序列的季节调整方法
1. 季节调整方法的发展
1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的 移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上， 开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地 对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进， 每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法， X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的 计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。 X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来 选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方 法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季 节调整方法
图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形
1.16
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11
1.06
1.06
0.95
0.76 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
0.89 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997