y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0

1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
2 p-判别曲线
结论：方程 F ( x, y, y) 0 的奇解包含在下列方程组
F ( x, y , p ) 0 Fp ( x, y , p ) 0 消去 p 而得到的曲线中。
注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲
线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分 曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在 这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲 线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的 积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。
§2.4 singularly solution
1 y ( x)( xy y ) 2 2 y
( y xy)2 4 y
y xy 2 y
这是克莱罗方程，因而其通解为
y xy 2 y
2 2 c c x y c1x 2 c1
而 y 1
是方程的解，且正好是通解的包络。
§2.4 singularly solution
例4 求方程 y 2 x 解： 从
dy dy dx dx
2
的奇解。
y 2 xp p 2 2 x 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线 经检验， y x 2 不是方程的解，故此方程没有奇解。 注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。
在区域 在D上连续且
在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的 任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。
• 如果存在唯一性定理条件不是在整个
有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满 足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果 再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么 我们也可以断定该方程无奇解。
§2.4 singularly solution
例2：判断下列方程 dy 2 2 (a) x y dx dy (b ) y x 2 dx 是否存在奇解
§2.4 singularly solution
dy f ( x, y ), dx
(1.9)
定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络 线L是(1.9)的奇积分曲线。
1 y xc c
从
消去 c，得到奇解
y 2 4x
此方程的通解是直线族:
y
2 y 4 x. 而奇解是通解的包络:
1 y cx , c
§2.4 singularly solution
如图:
O
y 2 4x
x
§2.4 singularly solution
例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标

o
x
x 2 cos2 y 2 sin 2 2xy sin cos p 2 x 2 sin 2 y 2 cos2 2xy sin cos 0
相加，得 x 2 y 2 p 2 ，经检验，其是所求包络线。
§2.4 singularly solution
§2.4 singularly solution
Φ x ( x(C), y(C), C) x (C) Φy ( x(C), y(C), C) y (C) 0
当 Φ 至少有一个不为零时 x ( x, y, C),Φy ( x, y, C) 有
Φ y(C ) x ( x(C ), y (C ), C ) , x(C ) Φ y ( x(C ), y (C ), C )
从
y 2c c 2 x 2 2cx 0
消去 c，得到奇解
xy 1
这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。
§2.4 singularly solution
直线族及其包络线
§2.4 singularly solution
例7 求方程 x( y ') 2 yy ' 9 x 0 的解. 9 x xp 解 令 y ' p, y , 求导后整理得 2p 2
§2.4 singularly solution
dy 的奇解。 2 例3 求方程 y 1 0 dx 解： 从 p2 y2 1 0 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线
2
y 1
经检验，它们是方程的奇解。 因为易求得原方程的通解为
y sin(x c)
证明： 应用定理2.1积分曲线与线素场的 关系的充要条件
§2.4 singularly solution
三 求奇解（包络线）的方法

C-判别曲线法 P-判别曲线法
设一阶方程 F ( x, y, y) 0 的通积分为 Φ( x, y, C ) 0。 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下 列方程组
或
Φ x(C ) y ( x(C ), y (C ), C ) , y(C ) Φ x ( x(C ), y (C ), C )
这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族
中对应于C的曲线Φ( x, y, C ) 0 相切。
注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
§2.4 singularly solution
3 克莱罗方程 形式
y xp f ( p)
dy , f ( p ) 是 p 的连续函数。 其中 p dx 解法 p p xp f ( p) p
( x f ( p)) p 0
p 0
pc
通解 奇解
y cx f (c)
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
消去 C 而得到的曲线中。
§2.4 singularly solution
设由
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
能确定出曲线为
Байду номын сангаас
L : x x(C ), y y(C )
利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下: 注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解, 其它解与这两条直线相切. restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: for j from 1 to 5 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: plot(3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yy:=%: plot(-3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yyy:=%: display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);
3
2 得 ( x c) [( x c) ] 0 3 yx 从 x c 0 得到 2 2 从 ( x c ) 0 得到 y x 9 3
2 9 是所求包络线。
检验， y x
§2.4 singularly solution
y
yx
2 y x 9
x f ( p) y f ( p) p ( p)
§2.4 singularly solution
结果: Clairaut方程
dy yx dx
的通解 y cx f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
dy f dx
x f ' ( p) 0 y xp f ( p)
或
x f ' (c) 0 y xc f (c)