总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。

例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。

方法二：利用p-判别法求奇解在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为：()()⎪⎩⎪⎨⎧==0,,0,,'p y x F p y x F p⑤ 消去p 之后得到的函数y=ϕ(x)是微分方程①身为解，而且设条件()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠≠0',,0',,'''x x x F x x x F PP y ϕϕϕϕ 成立，则()x y ϕ=是微分方程①的奇解。

例1：求微分方程()[]xy dydxye y =-21的奇解解：令dxdy p =，则原微分方程可化为：()0122=--xy ye p y 则此微分方程的p-判别式为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0)1(20)1(222y p ye p y xy消去p 之后得到p-判别式曲线y=0， 易知y=0是原微分方程的解； 但()()()()0112',,'≠-=---=xy xy Y xye e dxdyy x x x F ϕϕ ()()()()0212',,2''≠=-=y x x x F PPϕϕ 故y=0是原微分方程的奇解方法三：利用c-判别式和p-判别式共同求奇解若由③式和⑤式分别得到⎩⎨⎧==0),(0),(y x y x ϕψ 的公共解，则可能是微分方程①的奇解；值得注意的是，此方法用于当c-判别式和p-判别式均易求出时。

例：求出微分方程3227894⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-dx dy dx dy y x 的奇解解：令dx dy p =，则原微分方程可化为： 3227894p p y x -=- 则其p-判别式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--09898027494232p p p p y x消去p 后得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 274又由原微分方程得到其通解为()()323c x y -=-则其c-判别式为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=---0230223c y c x c y c x 消去c 后得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 274经验证x y =不是微分方程的解，274-=x y 是原微分方程的解； 所以274-=x y 是原微分方程的奇解。

方法四：若易求出微分方程的参数解，且参数不易消去时求奇解的方法设微分方程①有形如()()⎩⎨⎧==0,,0,,c p y c p x ψϕ的通解，其中p 为参数则奇解可由()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==0,,0,,0,,c p c p y c p x ψϕψϕ所确定，其中()()c p ,,∂∂ψϕ为雅克比行列式，且要满足()()02'2'≠+ppψϕ例：求微分方程02=⎪⎭⎫⎝⎛-dx dye dx dy y 的奇解解：设dxdyp =，则原微分方程可化为p e p y 2= 对其两边进行求导，再积分可得：()c e p x p ++=1原微分方程的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=ppe p y ce p x 21 即：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=ppep y c p y c e p x c p x 2,,1,,ψϕ 这是()()()()()p pp c p cp e p p e p p p e c p 2220212,,+-=+--+-==∂∂ψψϕϕψϕ所以()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-+-0200122p p p e p p e p y c e p x经计算得：⎪⎩⎪⎨⎧===00p y cx 或⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=--2422p e y c e x当0=y 时，0=p ，易知()220'-=+-==-=p pp p e p ϕ ()02020'=+-===p pp p e p p ψ则有()()02'2'≠+ppψϕ所以0=y 是原微分方程的奇解 当24-=e y 时，2-=p ，易知00'==p p ϕ，00'==p pψ，故有()()02'2'=+ppψϕ所以24-=e y 不是原微分方程的奇解 综上所述，0=y 是原微分方程的奇解。

参考文献[1] 王佩伦，李凤庭，吕延华.常微分方程[M].1版.武汉：武汉大学出版社， 1993：108-110[2]王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006:103-111[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].1版.北京：高等教育出版社，1991:101-113[4]曾庆健.一类常微分方程奇解的求法[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2004,3:234-235[5]王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010,13(4):65-67致谢信光阴似箭，岁月如梭，不知不觉我即将走完大学生涯的第四个年头，回想这一路走来的日子，父母的疼爱关心，老师的悉心教诲，朋友的支持帮助一直陪伴着我，让我渐渐长大，也慢慢走向成熟。

首先，我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的老师们，特别是我的辅导员XXX老师，指导老师XXX老师，专业课XXX老师、XXX老师、XXX老师，谢谢你们这四年以来对我的关心和照顾，从你们身上，我学会了如何学习，如何工作，如何做人。

其次，我还要真诚地谢谢我的室友和同学，在这四年当中，你们给予了我很多帮助，在我的学习工作生活各个方面，你们给我提出了很多宝贵的建议，我的成长同样离不开你们。

同窗的友情同样难忘，芙蓉湖畔、南强灯下，我们一同嬉笑过、拼搏过，这一路与你们同行真好!感谢我所有朋友对我的包容、体谅，谢谢大家最后，我要感谢我的父母及家人，没有人比你们更爱我，你们对我的关爱让我深深感受到了生活的美好，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。

也许永远没有那一天，前程如朝霞般绚烂；也许永远没有那一天，成功如灯火般辉煌；也许只能是这样,攀援却达不到顶峰，也许一路走来，只为今天在我毕业论文的最后, 对所有关心帮助我的人说一声：谢谢……。