−
1
2( 在区间 2nπ
+
π , 2nπ
4
+
π) 2
内的零点,
其中
n
∈
N,
证明
2nπ
+
π 2
−
xn
<
e−2nπ
.
sin x0 − cos x0
2019 · 天津卷文 20 设函数 f (x) = ln x − a (x − 1) ex, 其中a ∈ R.
(1) 若 a ⩽ 0, 讨论 f (x) 的单调性;
M (a) 最小时, 求 a 的值.
2019 · 天津卷理 20 设函数 f (x) = ex cos x, g(x) 为 f (x) 的导函数.
(1) (2)
求 当
f x
(x)[ ∈
的单调区间; π , π ] 时, 证明
f (x)
+
(π g(x)
−
) x
⩾
0;
(3)

设
xn
42 为函数
u(x)
=
f (x)
2019 · 全国新课标 III 卷文 20 已知函数 f (x) = 2x3 − ax2 + 2. (1) 讨论 f (x) 的单调性; (2) 当 0 < a < 3 时, 记 f (x) 在区间 [0,1] 的最大值为 M , 最小值为 m, 求 M − m 的取值范 围.
1
张龙刚整理
2019 年高考数学导数解答题
(1) 若 a = b = c, f (4) = 8, 求实数 a 的值;
(2) 若 a ̸= b, b = c, 函数 f (x), f ′ (x) 的零点均在集合 {−3,1,3} 中, 求 f (x) 的极小值; (3) 当 a = 0, 0 < b ⩽ 1, c = 1 时, 记 f (x) 的极大值为 M , 证明: M ⩽ 4 .
2019 年高考数学导数解答题
2019 年高考数学导数解答题
张龙刚整理
2019 · 全国新课标 I 卷理 20
已(1)知f ′函(x数) 在f 区(x间) =(s−in1x, π−)
ln (x + 1), f ′ (x) 为 存在唯一极大值点;
f
(x)
的导数.
证明:
2
(2)f (x) 有且仅有两个零点.
2019 · 全国新课标 II 卷文 21 已知函数 f (x) = (x − 1) ln x − x − 1. (1)f (x) 存在唯一极值点; (2)f (x) = 0 有且仅有两个实根, 且两个实根互为倒数.
2019 · 全国新课标 III 卷理 20 已知函数 f (x) = 2x3 − ax2 + b. (1) 讨论 f (x) 的单调性; (2) 是否存在 a, b, 使得 f (x) 在区间 [0,1] 的最小值为 −1, 最大值为 1? 若存在, 求出 a, b 的 所有值, 若不存在, 说明理由.
2
2019 · 全国新课标 I 卷文 20 已知函数 f (x) = 2 sin x − x cos x − x, f ′ (x) 为 f (x) 的导数. (1) 证明: f ′ (x) 在区间 (0,π) 存在唯一零点; (2) 若 x ∈ [0,π] 时, f (x) ⩾ ax, 求 a 的取值范围.
2019 · 北京卷理 19, 文 20 己知函数 f (x) = 1 x3 − x2 + x.
4 (1) 求曲线 y = f (x) 的斜率为 1 的切线方程;
(2) 当 x ∈ [−2,4] 时, 求证: x − 6 ⩽ f (x) ⩽ x;
(3) 设 F (x) = |f (x) − (x + a)| (a ∈ R), 记 F (x) 在区间 [−2,4] 上的最大值为 M (a). 当
2019 · 全国新课标 II 卷理 20
已知函数
f
(x)
=
ln
x
−
x x
+ −
1 1
.
(1) 讨论 f (x) 的单调性, 并证明 f (x) 有且仅有两个零点;
(2) 设 x0 是 f (x) 的一个零点, 证明曲线 y = ln x 在点 A (x0, ln x0) 处的切线也是曲线 y = ex 的切线.
27
2019 · 浙江卷 22
已知实数
a
̸=
0,
设函数
f
(x)
=
a ln x
+
√ x
+
1,
x
>
0.
(1) 当 a = − 3 , 求函数 f (x) 的单调区间;
4[
)
√
(2) 对任意 x ∈
1 e2 , +∞
均有 f (x) ⩽ x , 求 a 的取值范围. 2a
注：e = 2.71828 · · · 为自然对数的底数.
(2)
若
0
<
a
<
1 e
,
(i) 证明 f (x) 恰有两个零点;
(ii) 设 x0 为 f (x) 的极值点, x1 为 f (x) 的零点, 且 x1 > x0, 证明 3x0 − x1 > 2.
2019 · 江苏卷 19 已知函数 f (x) = (x − a) (x − b) (x − c), f ′ (x) 为 f (x) 的导函数.