广东省广州市天河区2020届高三数学一模试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =I ð ) A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC =u u u r u u u rg )A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e=-+图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ． 16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且3cos2sin()102A A π+-+=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积33S =，3b =．求sin C 的值．18．（12分）在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =． （1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．20．（12分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mm mm ⨯根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg 都服从正态分布2(,)N μσ，并把质量在(3,3)u u σσ-+之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率； （Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差” ()mm 为|600||600|a b -+-，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、[0.2，0.5]、[0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．（Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元)，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． （Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974p Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，580.32768=．21．（12分）已知函数()1()af x lnx x a a R x=+-+-∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在()11,xx f x x x->+<使成立，求整数a 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin x y ααααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB g 为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||2|()f x x x m m R =-++∈． （1）若2m =时，解不等式()3f x „；（2）若关于x 的不等式()|23|f x x -„在[0x ∈，1]上有解，求实数m 的取值范围．2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =I ð ) A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|2R A x x =-„ð或3}x …， (){|3}[3R A B x x ==I …ð，)+∞．故选：A ．2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-g ，4a =-； 4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．60【解答】解：28515a a a +=-Q ，55a ∴=，9592452S a ∴=⨯=．故选：C ．4．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确． 故选：D ． 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2- C ．2 D ．3【解答】解：第一个因式取2x ，第二个因式取21x，可得4451(1)5C ⨯⨯-=；第一个因式取2，第二个因式取5(1)-，可得52(1)2⨯-=-2521(2)(1)x x∴+-的展开式的常数项是5(2)3+-= 故选：D ．6．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【解答】解：依题意，因为y lnx =为(0,)+∞上的增函数，所以111102x n ln =<=；应为x y e =为R 上的增函数，且0xe >，所以1220x e -<=，01e <=； 3x 满足33x elnx -=，所以30x >，所以30x e ->，所以301lnx ln >=，又因为y lnx =为(0,)+∞的增函数，所以31x >，综上：123x x x <<． 故选：B ．7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示224⨯=个两位数； 则一共可以表示12416+=个两位数； 故选：D ．8．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC =u u u r u u u rg )A ．725B ．1225C ．125D ．14425【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD 中，3AB =，4AD =， 则(0,3)A ，(0,0)B ，(4,0)C ，(4,3)D ； 直线BD 的方程为34y x =；由AE BD ⊥，则直线AE 的方程为433y x -=-，即433y x =-+；由34433y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得36252725x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 36(25E ，27)25所以36(25AE =u u u r ，48)25-，64(25EC =u u u r ，27)25-，所以36644827144()()2525252525AE EC =⨯+-⨯-=u u u r u u u r g ．故选：D ．9．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e=-+图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e -=-=++g ，则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e ------=-=-==+++g g g ，则()f x 是偶函数，则图象关于y 轴对称，排除B ，D ，当1x =时，f （1）1sin101ee-=<+g ，排除A ， 故选：C ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．144【解答】解：根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种， 故选：C ．11．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-， 又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴12112sin()sin(2)cos(2)36x x x x ππ-=-=--， 因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()sin(2)65f x x π=-=，得14cos(2)65x π-=， ∴124sin()5x x -=-，故选：B ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞【解答】解：函数244()()x f x k lnx k x -=++，导数2414()()1f x k k x x'=+--g ．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+，而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[4k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[4k ∈，)+∞， 24()10g k k '=->，对[4k ∈，)+∞恒成立， 即()g k 在[4，)+∞递增，()g k g ∴…（4）5=，∴161645k k+„， 12165x x ∴+>，即12x x +的取值范围是16(5，)+∞．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = 12n - ．【解答】解：Q 数列{}n a 满足11a =，111n n a a a -=++⋯+ *(n N ∈，2)n …， 则0112a ==，1222a ==，2342a ==，3482a ==，⋯由此可得当1n …时，12n n a -=． 故答案为：12n -．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =取得最大值，则tan()4πθ+= 2+【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+；Q 当x θ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k z ππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，k z ∈；∴1tan()tan(2)tan()246446k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= 15 ．【解答】解：2()32f x x ax b '=++Q ，Q 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=， 320a b ∴++=，2110a b a +++=，解得4a =，11b =-或3a =-，3b =， 当4a =，11b =-时，2()3811(31)(1)f x x x x x '=+-=+-， 此时1x =是极小值点； 当3a =-，3b =时，22()3633(1)f x x x x '=-+=-， 此时1x =不是极小值点． 4a ∴=，11b =-， 15a b ∴-=．故答案：15．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是133π． 【解答】解：如图所示，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ．设G 为ABC ∆的中心，O 为三棱锥S ABC -外接球的球心．连接OG ，OG ，OS ．取SD 的中点E ，连接OE ． 则OD 为棱锥S ABC -外接球的半径．OEDG 为矩形． 22221139(3)(3)32OD DG DE ∴=+=⨯+⨯=． ∴三棱锥S ABC -外接球的表面积239134()3ππ=⨯=． 故答案为：133π．三、解答题：共70分。