课堂教学实录
二次根式的复习
师：同学们好！
生：老师好!
师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各组的小组长
回报各组完成的情况及在解题中遇到的一些问题。

生：各组组长汇报完成情况及遇到的问题
师：根据完成情况请四个同学到黑板板演,请其他同学们注意观察黑板板演的过程 生：计算。

(1)33－23 (2) －2a +3a
(3) －12×6 （4）3x ×6y
师：根据板演情况进行讲解
【评析】教师通过活动1,让学生进一步巩固二次根式的解法
师：二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
生：
)0()()0())(1(22≥=≥=a a a a a a 与
)0,0()0,0(2≥≥=⋅≥≥⋅=b a ab b a b a b a ab 与）（；
)00()00()3(>≥=>≥=，b a b a b
a ，
b a b a b a 与 师：你说得对.请看下面的化简.(投影)
【评析】通过不同的计算方法让学生懂得解题的方法并不唯一，激发学生在今后的学习中，
要多动脑筋勤思考。

师：要注意
22)(a a 不一定能化成．
.
)(,)2()2(2)2(2)2(0;)()0(0)0()5(5)5(0222222222222222a a ，，，a a a ，，，a ≠-≠--==-<=====≥此时所以无意义但时当此时如时当
【评析】通过分析板演，让学生知道在计算二次根式的时候把握法则。

让学生进一步巩固二
次根式的混合运算。

师：看下面的题目：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(投影)
23)1(-+-x x ；212)2(x x
-；
x x 22)3(-+；x
x 32)
4(+．
生1：2≤x ≤3
生2: x ≠±1
生3: x =0
生4: x ≥-2且x ≠0．
师：同学们回答得很好。

再看看 例2. 的值求且满足为实数已知n m n n n m n m 36,3
499,,22--+-+-=(投影) .
,,090999.36::2222的值从而确定的值从中求得及有意义的条件分别是与二次根式的值再求多项式的值与先根据已知条件求出分析师m n n n n n n m ，n m ≥-≥----
生：板演：
解： 因为n 2-9≥0，9-n 2≥0，且n -3≠0，所以n 2=9且n ≠3，所以
3
2643499,322-=-=-+-+-=-=n n n m n ， 5)3(3)3
2(636=---⨯=-n m 师：要使二次根式有意义必须a ≥0
【评析】通过分析进一步让学生理解二次根式的运算。

师：下面请看例3 a
a a a a a a -+--⋅+-+-1123344422计算(投影)
师： 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因
式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a ＞0．
生：板演：
a
a a a a a a a a a a a a -+--⋅---=-+--⋅+-+-1123)3)(1()2(11233444222计算 a
a a a a a -+--⋅---=1123)3)(1()2(2 0
111111233121123)3)(1(2=-+--=-+--⋅-⋅--=-+--⋅---=
a
a a a a a
a a a a a a a a
学生板演，其他学生在下面练习，老师巡视，发现错误及时指正。

师：这位同学做得很正确，由于二次根式的基本性质要由a 的取值范围确定。

即：
⎩⎨⎧<-≥=).
0()0(a a a a a ， 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的。

师：我们再看看：
.4141,23142
2的值求已知例-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a a a a a (投影)
师：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
生： .12141,12141:22222222⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a a a a a a a 答 生：板演：
2222114141⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a a a 解
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1 1
1 1
=
-
+
+
=
-
-
+
=
.2
2
3
2
)2
3
(
2
2
3
1
-
=
-
=
=
+
=a
，
a原式
时
当
【评析】教师深入到小组，重点关注：①学生在解题时所存在的问题，尤其关注基础薄弱的学生；②学生在解题时有没有创新意识；③学生能否找到解
决问题的方法。

师：通过这几个例子同学们已经掌握二次根式的混合运用了，下面我们来做几条巩固练习。

生1：板演
解
师：在做这条题时要注意：
.1
,0
1
1
.12≠
≠
+
-
-x
x
x因此
母
因为第二个式子中的分
所以在化简过程中，分子与分母可以同除以x -1.
.
)0()(0,0(5.22算进行二次根式的混合运关系式和
本性质中运用了二次根式的基例≥=≥≥⋅=a a a b a b a ab
生2：板演：
例6 .4242424
22222-++--++--+-++n n n n n n n n 计算
.2)2()2(42)(2)(),
2(4)4()2(),2(2,42,422
22222222n n n ab b a ab
ab b a ab b a a b b a n n n ab n b a n n b n n a =-++=-+=-+=+=+=+=--+=+=+--+=-++=所以原式那么
解设
师：很好，这位同学能根据式子额结构特点，分别把两个式子的分母看成一个整体，用换元
法把式子变形 ，从而使运算变得简捷。

我们要学习他善于观察，肯动脑筋的做法。

【评析】教师通过启发，让学生能够自由发挥，运用自己独特的方法解决问题，同时教师
不忘关注个体的发展，这样更能引起学生的学习注意，侧面地激发了学生的学习积极性；同时教师在评讲问题时有详有略，主次分明，不光关注了学生解决问题的结果，更主要的是关注了学生的思维过程；另外教师可以巧妙地结合问题对学生进行情感的教育。

师：今天的家庭作业：完成课后提升的练习。

这节课到这里，下课。

同学们再见。

生：老师再见。