A． B． C． D．
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为B，C， ， ，
，即 ，
3.过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【解析】因为 ，再由 有 即 从而可得 ，故选B
三、构造 、 的齐次式，解出
根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的一元方程，从而解得离心率 。
例3.已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴， 直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是（ ）
解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦，
∵ 于 ，∴ 为 到准线 的距离，根据椭圆的第二定义，
1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该椭圆的离心率为（）
A B C D
解：
2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【解析】对于椭圆，因为 ，则
1.设 和 为双曲线 ( )的两个焦点, 若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．3
【解析】由 有 ,则 ,故选B.
2.双曲线虚轴的一个端点为 ，两个焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率为（）
A B C D
解：如图所示，不妨设 ， ， ，则
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在 轴上，设其方程为： ，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为： ，直线 的斜率为： ， ，
，解得 .
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）
A. B. C. D.
解：由
6.双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
6.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|= c，∴ ，
双曲线的离心率为 ，选D。
9.设 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（）
A B C D
10.设双曲线 （ ）的半焦距为 ，直线 过 ， 两点.已知原点到直线的距离为 ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
分析：这里的 ，故关键是求出 ，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线 的方程为 。直线与两条渐近线 和 的交点分别为B 、C ，又|AB|=|BC|，可解得 ，则 故有 ，从而选A。
二、变用公式 ， ，整体求出
例2.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（）
1.双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ≥ ，离心率e2= ，∴e≥2，选C
2.椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ， ， ，则 ，该椭圆离心率e≥ ，选D
3.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）
把P点坐标代人双曲线方程，有 ，
化简得 解得 ，故选D
四、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例4：设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是.
A B C D
五、构建关于 的不等式，求 的取值范围
1．已知双曲线 （ ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A B C D
2．椭圆 （ ）的焦点为 、 ，两条准线与 轴的交点分别为 、 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
A. B. C. D.
分析：本题已知 ，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为 ，所以 ，则 ，从而选A。
1.设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于( C )
A. C. D.
解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即 .