椭圆离心率的三种求法:
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2, b2,求a, c的值，利用公式e= £或
a
利用e ⑵ 求椭圆的离心率时，若不能直接求得§的值，通常由已知寻求a, b, c的关系式，再与a2= b2+c2组成方程组，消去b得只含a, c的方程，再化成关于e的方程求解.
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.
涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a, b, c的不等式，消去
b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.
1.若椭圆a^+ / 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F l, F2，线段F1F2被点；,0分成
5:3的两段，则此椭圆的离心率为()
c+ ? .厂
解析依题意,得------ =3，.，• c= 2b, a=V b2+ c2 = gb, .. e=~j^ = ^^. 答
V5b
c-2
a=\b2+ c2 =
c= 2b,
点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率
2 2
2.设P是椭圆§+合=1(a>b> 0)上的一点，F i, F2是其左，右焦点.已知Z F i PF
=60°,求椭圆离心率的取值范围.
分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.
解方法一根据椭圆的定义，有| PF i| +| PF| = 2a.①
在^ F i PF中，由余弦定理，得。
_ |PF i|2+|PF|2—|吓|21
C0S 60—2|PR||PR| — 2，
即|PE|2+ |P8|2—4C2= | PF|| PF|.②
①式平方，得|PF|2+|PFf+ 2|PF|| PF| = 4a2.③
由②③，得| PR|| PF = 4b■.④
3
由①和④运用基本不等式，得
| PF|| PR| < | PFl | 2 |PF2 | ，即4b< a2.
C 1
2 2 2 4, 2 2、 2
由b = a —C,得3（a —C） < a,解得e= a> 2.
1
又ev 1, .••该椭圆的离心率的取值范围是[^, 1).
方法二如图，设椭圆与y轴交于B, B两点，则当点P位于Bi或B处时，点P对两焦点的张角最大，故Z F1&F2AZ F i PR = 60°,从而/ OBF2>30° .
在Rt△OBF2 中，e= —= sin / OBF2A sin 30 =云.
a 2
又ev 1, • • 2< ev 1.
1
该椭圆的离心率的取值范围是[2, 1).
点评在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心
率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关
系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就
应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况. (2016全国I高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离
为短轴长的】，则该椭圆的离心率为(B ) 4
A. 1
B. 1
C. -
D.-
3 2 3 4
解：设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为B(0,b)、F(c,0),则
直线l的方程为成cy bc 0。
又椭圆短轴长为2b ,椭圆中心到的距离为
,bC匹，所以匹1 2b，即1。
b2 c2 a a 4 a 2
（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为F〔、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形。
则椭圆的离心率为（ D ）
A. -2
B.
C. 2 .2
D. .21
解：由题意得2c卜，解得c <2 1。
a a
椭圆的中点弦方程的求法有三：
（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；
（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A（x〔,y1）、B（x2，y1）,将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点（x°,y。
）和斜率k AB 有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。
2 2
1.已知椭圆— 1 ,过点P（2,1）作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直
16 4
分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.
解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y= k(x — 2) +1.
y= kx- 2+ 1,
由x2y2消去y 并整理，得(4k2 + 1)x2—8(2k2— k)x+ 4(2k — 1)2— 16 甘4 =1
=0.
设直线与椭圆的交点为A(x〔, y1) , B(x2, y2),
......... 82k2—k
则x1, x2是万程的两根，所以x〔 + x2= 4k?+1 .
2
__ . , . . x〔 + x2 42k — k 1
因为点P为弦AB的中点，所以 2 =——= 水+ 1，解得k=一区.
故所求直线的方程为x + 2y — 4= 0.
方法二(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x1, y〔)，B(x2, v»因为点P为弦AB的中点，所以x〔+ x2 = 4, y〔+ y2 = 2.又因为A, B在椭圆上，所以x2 + 4y2= 16, x2 + 4y2 = 16.两式相减，得(x2—x2) + 4( y2 —y2) = 0,
即（x〔 + x?）（x〔一x?） + 4（y 1 + y2）（y 1 一y?）— 0,
一、M —V2 — x i+X2 1 5 1
所以X；二兄=苟顽=—2,即kAE3= — 2-
1
故所求直线的万程为y — 1 = — 2( x— 2),
即x + 2y —4= 0.
方法三(利用对称性，中点转移法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x, y).因
为弦中点为R2,1)，所以另一个交点为B(4 —x, 2-y).
因为点A, B在椭圆上，所以x2 + 4y2= 16,①
(4 — x)2 + 4(2 —y)2= 16,②
从而A, B在方程①一②所形成的图形上，
即在直线x + 2y — 4 = 0上.
又因为过A, B的直线只有1条，
故所求直线的方程为x + 2y — 4= 0.
解后反思解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程。