圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c、不等关系求解.2. 运用数形结合建立a c、不等关系求解3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为6 2题3：设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。

题4：(2009浙江理) 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12AB BC u u u r u u u r=，则双曲线的离心率是（ ）（A ）2 （B ）3（C ）5（D ）102. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是11211,2,3,31MF F F MF e ====-题2： F l ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q两点，PF1^PQ ，且1PF PQ =，求椭圆的离心率．题3：12212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 2122F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－∆（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有12222||||2122221c c cea a PF PF c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2a ，∠MF 2F l =a (a ≠ 0)，则椭圆的离心率为( )(A)1—2sin a (B)l —sin 2a (C)1-cos2a (D)2cos a -1题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率为 ．练习：.22221(0),4x y a b a b -=<<1.设双曲线半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（ ）A32.已知双曲线的渐近线为34y x =?，则双曲线的离心率为 55,343.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 2221212224.(071(0,0)||A.x y F F a b A B O OF a bF AB 安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）-=>>∆2b a ca=+22121222125.(07190,||3||,A.x y F F A F AF a bAF AF o 全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2：（04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.练习：1. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.2. 利用曲线的范围，建立不等关系题1． 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ，使1290F PF ?o ，求离心率e 的取值范围。

解：设因为，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得题2：椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M u u u u v u u u u vg =. 求椭圆离心率e 的取值范围；解析 设22212(,),0M x y FM F M x y c ⋅=⇒+=u u u u v u u u u v ……① 将22222b y b x a =-代入①得22222a b x a =- 220x a ≤≤Q 求得212e ≤< . 点评：22221(0)x y a b a b+=>>中x a ≤，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.3. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解题1：（06福建）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞解析 欲使过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ b a≥3，即3b a ≥即2223c a a -≥∴224c a ≥即2e ≥故选C.题2：直线L 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，斜率k=2，若L 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

如图1，若，则L 与双曲线只有一个交点；若，则L 与双曲线的两交点均在右支上，题3：已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点。

若△ABF 2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

解：如图2，因为△ABF 2是等腰三角形，所以只要∠AF 2B 是锐角即可，即∠AF 2F 1<45°。

则4. 运用函数思想求解离心率题1：（08全国卷Ⅱ）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(解析：由题意可知e ==1>a ∴1112a<+<e << B.5. 运用判别式建立不等关系求解离心率题1：（全国Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.求双曲线C 的离心率e 的取值范围解析 由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①所以242210.48(1)0.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得0 1.a a <<≠双曲线的离心率e ==01,a a <<≠∴e e >≠所以双曲线的离心率取值范围是)+∞U练习：1。

设22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线含实轴的所成角为q ，离心率2e Î，则q 的范围1组 1。

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.2，∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B. 练习：解析 2221222222(2)442448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤. 2组1。