浙江数学(文科)试题 第Ⅰ卷 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A = (A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x(C) {}20|≤<x x(D) {}21|≤≤-x x(2)函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（A ）2π （B ）π(C)23π (D) 2π(3)已知a ,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{a n }是等比数列，a n =2,a 3=41,则公比q=(A)21-(B)-2(C)2(D)21 (5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a(A)21≤ab (B) 21≥ab (C)222≥+b a(D) 322≤+b a(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x 4的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0（B ）1 （C ）2（D ）4（8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（9）对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得 （A ）αα⊂⊂b a , （B ）b a ,α⊂∥α（C ）αα⊥⊥b a ,(D)αα⊥⊂b a ,(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是(A)21 (B)4π (C)1 (D)2π 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知函数=-+=)1(|,2|)(2f x x x f 则 . (12)若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 . (13)已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点若|F 2A |+|F 2B |=12，则|AB |= 。

（14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若,cos cos )3(C a A c b =-则cosA = .(15)如图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC 。

AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 。

（16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a -b )=0,则|b |的取值范围是 （Ⅰ）p ,q 的值；(Ⅱ)数列{x n }前n 项和S n 的公式。

（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97.求：（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；（Ⅱ）袋中白球的个数。

（20）（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，,∠BCF =∠CEF =90°,AD =.2,3=EF（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 的大小为60°？（21）（本题15分）已知a 是实数，函数f (x )=x 2(x -a).（Ⅰ）若f 1(1)=3,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。

（22）（本题15分）已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线 85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥,轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得||||2QA QB 为常数。

数学（文科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）D （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

（11）2（12）257-（13）8 （14）33 （15）29π（16）[0,1] （17）40三、解答题（18）本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：由得,31=x解得得且又,82523,2,52,42,32554315544q p q p x x x q p x q p x q p +=++=++=+==+Ⅱp =1,q =1(Ⅱ)解：.2)1(22)21()222(12++-=+++++++=+n n n S n n n（19）本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为.45210=⨯记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则.152)(21024==C C A P（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B 。

设袋中白球的个数为x ，则,971)(1)(221=-=-=-nn C C B P B P 得到 x =5(20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。

满分14分。

方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG ⊥CF 并CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形。

又ABCD 为矩形，所以AD ⊥∥EG ,从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE ∥DG 。

因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，所以AE ∥平面DCF 。

（Ⅱ）解：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连结AH 。

由平面ABCD ⊥平面BEFG ，AB ⊥BC ，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而 AH ⊥EF ，所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角。

在Rt △EFG 中，因为EG =AD =.1,60,2,3==∠=FG CFE EF 所以 又因为CE ⊥EF ，所以CF =4， 从而 BE =CG =3。

于是BH =BE ·sin ∠BEH =.233 因为AB =BH ·tan ∠AHB , 所以当AB 为29时，二面角A-EF-G 的大小为60°. 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 分别 作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz . 设AB=a,BE=b,CF=c ,则C （0，0，0），A （),0,0,3(),,0,3B a).0,,0(),0,,3(c F b E（Ⅰ）证明：),0,,0(),0,0,3(),,,0(b BE CB a b AE ==-= 所以,,,0,0BE CB AE CB BE CB AE CB ⊥⊥=∙=∙从而所以CB ⊥平面ABE 。

因为GB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF 故AE ∥平面DCF（II）解：因为(0)0)EF c b CE b ==-，，，，所以0.2EF CE EF ⋅==，从而3()0,2.b c b -+-=⎧⎪= 解得b ＝3，c ＝4．所以(0,4,0)E F .． 设(1,,)n y z =与平面AEF 垂直，则 n 0,n 0AE EF ⋅=⋅=，解得n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(0,0,)BA a =，所以1cos ,2BA n n BA BA n ⋅<>===⋅， 得到 92a =． 所以当AB 为92时，二面角A －EFC 的大小为60°．（21）本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（I ）解：2'()32f x x ax =-． 因为'(I)323f a =-=， 所以 0a =．又当0a =时，(I)1,'(I)3f f ==，所以曲线()(1,(I))y f x f =在处的切线方程为 3x y --2=0． （II ）解：令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-．当223a≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而 max (0)0f f ==．当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而 m a x 84,0 2.0,23.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （22）本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（I ）解：设(,)N x y 为C 上的点，则N 到直线58y =-的距离为58y +．58y =+． 化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （II ）解法一：设2(,)2x xM x +，直线l ：y kx k =+，则(,)B x kx k +，从而1QB =+．在Rt △QMA 中，因为22(1)(1)4x QM x =++，222(1)()21xx k MA +k+-=． 所以 222222(1)(2)4(1)x Q A Q M A M k x k +=-=++QA =，222(112QB k x QA k x+k++=⋅当k ＝2时，2QBQA=从而所求直线l 方程为220x y -+= 解法二：设2(,)2x πM x +，直线直线l ：y kx k =+，则(,)B x kx k +，从而1QB =+过(1,0)-垂直于l 的直线l 1：(1)1y=x k-+， 因为QA MH =，所以QA =，222(112QB k x QA k x+k++=⋅， 当k ＝2时，2QBQA= 从而所求直线l 方程为220x y -+=。