2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2016年浙江，文1，5分】已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5P =，{}1,2,4Q =，则()U P Q =（ ）（A ）{}1 （B ）{}3,5 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}1,2,3,4,5 【答案】C【解析】{}2,4,6U P =，(){}{}{}2,4,61,2,41,2,4,6U P Q ==，故选C ．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． （2）【2016年浙江，文2，5分】已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）（A ）//m l （B ）//m n （C ）n l ⊥ （D ）m n ⊥ 【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α，∴//m β或m β⊂或m β⊥，l β⊂，∵n β⊥，∴n l ⊥，故选C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． （3）【2016年浙江，文3，5分】函数2sin y x =的图象是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】∵()22sin sin x x -=，∴函数2sin y x =是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ；由2sin 0y x ==， 则2x k π=，0k ≥，则,0x k k π=±≥，故函数有无穷多个零点，故选B ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．（4）【2016年浙江，文4，5分】若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，夹在两条斜率为l 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）（A ）35 （B ）2 （C ）32 （D ）5【答案】B【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线y x b =+分别经过A ，B 时，平行线间的距离相等．联立方程组30230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()2,1A ，联立方程组30230x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得()1,2B ．两条平行线分别为1y x =-，1y x =+，即10x y --=，10x y -+=．∴平行线间的距离为1122d --==，故选B ．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题． （5）【2016年浙江，文5，5分】已知a ，0b >且1a ≠，1b ≠，若log 1a b >，则（ ）（A ）()()110a b --<（B ）()()10a a b -->（C ）()()10b b a --<（D ）()()10b b a -->【答案】D【解析】若1a >，则由log 1a b >得log log a a b a >，即1b a >>，此时0b a ->，1b >，即()()10b b a -->，若01a <<，则由log 1a b >得log log a a b a >，即1b a <<，此时0b a -<，1b <，即()()10b b a -->， 综上()()10b b a -->，故选D ．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．（6）【2016年浙江，文6，5分】已知函数2f x x bx =+（），则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】()f x 的对称轴为2b x =-，()2min 4b f x =-．（1）若0b <，则224b b ->-，∴当()2bf x =-时，()()f f x 取得最小值224b b f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等．∴“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的充分条件．（2）若()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则()min 2bf x ≤-，即242b b -≤-，解得0b ≤或2b ≥．∴“0b <”不是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的必要条件，故选A ．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． （7）【2016年浙江，文7，5分】已知函数f x （）满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x R ∈（ ） （A ）若()f a b ≤，则a b ≤ （B ）若()2b f a ≤，则a b ≤ （C ）若()f a b ≥，则a b ≥ （D ）若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B 【解析】（A ）若()f a b ≤，则由条件()f x x ≥得()f a a ≥，即a b ≤，则a b ≤不一定成立，故A 错误，（B ）若()2b f a ≤，则由条件知()2x f x ≥，即()2a f a ≥，则()22a b f a ≤≤，则a b ≤，故B 正确，（C ）若()f a b ≥，则由条件()f x x ≥得()f a a ≥，则a b ≥不一定成立，故C 错误，（D ）若()2b f a ≥，则由条件()2x f x ≥，得()2a f a ≥，则22a b ≥，不一定成立，即a b ≥不一定成立，故D 错误，故选B ．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．（8）【2016年浙江，文8，5分】如图，点列{}n A 、{}n B 分别在某锐角的两边上，且112n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，n N *∈，112n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，n N *∈，（P Q ≠表示点P 与Q 不重合）若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（ ） （A ）{}n S 是等差数列 （B ）{}2n S 是等差数列 （C ）{}n d 是等差数列 （D ）{}2n d 是等差数列 【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1OA a =，1OB b =，112n n n n A A A A b +++==，112n n n n B B B B d +++==，由于a ，b 不确定，则{}n d 不一定是等差数列，{}2nd 不一定是等差数列，设1n n n A B B+∆的底边1n n B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得()111n nn n a n b h OA h OA a nb +++-==+，()22111n n n n a n b h OA h OA a nb++++++==+，两式相加可得，21222n n n h h a nb h a nb ++++==+，即有212n n n h h h +++=，由12n n S d h =⋅，可得212n n n S S S +++=，即为211n n n n S S S S +++=--，则数列{}n S 为等差数列，故选A ．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2016年浙江，文9，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3． 【答案】80；40【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为22442464⨯⨯+⨯=cm 2，体积为22432⨯=cm 3；上部为正方体，其棱长为2， 表面积是26224⨯=cm 2，体积为328=cm 3；所以几何体的表面积为264242280+-⨯= cm 2，体积为32840+=cm 3．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题． （10）【2016年浙江，文10，6分】已知a R ∈，方程()22224850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 【答案】()2,4--；5【解析】∵方程()22224850a x a y x y a +++++=表示圆，∴220a a =+≠，解得1a =-或2a =．当1a =-时，方程化为224850x y x y +++-=，配方得()()222425x y +++=，所得圆的圆心坐标为()2,4--，半径为5；当2a =时，方程化为225202x y x y ++++=，此时2254144502D E F +-=+-⨯=-<，方程不表示圆．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题． （11）【2016年浙江，文11，6分】已知()()22cos sin 2sin 0x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ． 【答案】2；1【解析】∵2222cos sin 21cos 2sin 212cos 2sin 212sin 21224x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， ∴2A =，1b =．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．（12）【2016年浙江，文12，6分】设函数()3231f x x x =++，已知0a ≠，且()()()()2f x f a x b x a -=--，x R ∈，则实数a = ，b = ． 【答案】2-，1【解析】∵()3231f x x x =++，∴()()()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++-++=+-+,∵()()()()()()2223222222x b x a x b x ax a x a b x a ab x a b --=--+=-+++-，且()()()()2f x f a x b x a -=--，∴232223203a b a ab a a a b --=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或03a b =⎧⎨=-⎩（舍去）．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题． （13）【2016年浙江，文13，4分】设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是 ． 【答案】()27,8【解析】如图，由双曲线2213y x -=，得21a =，，∴222c a b =+=．不妨以P 在双曲线右支为例，当2PF x ⊥轴时，把2x =代入2213y x -=，得3y =±，即23PF =，此时1225PF PF =+=，则128PF PF +=；由12PF PF ⊥，得22221212416PF PF F F c +===，又122PF PF -=，① 两边平方得：22121224PF PF PF PF +-=，∴126PF PF =，②联立①②解得：117PF =+，217PF =-+，此时1227PF PF +=+．∴使12F PF ∆为锐角三角形的12PF PF +的取值范围是()27,8．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． （14）【2016年浙江，文14，4分】如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．【答案】6【解析】如图所示，取AC 的中点O ，∵3AB BC ==，∴BO AC ⊥，在Rt ACD ∆'中，()22156AC =+=．作D E AC '⊥，垂足为E ，15306D E ⨯'==．6CO =，266D C CE CA '===，∴6EO CO CE =-=．过点B 作//BF BO ，作//FE BO 交于点F ，则EF AC ⊥．连接D F '．FBD ∠'为直线AC 与BD '所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴6BF EO ==．2263032EF BO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭．则FED ∠'为二面角D CA B '--的平面角， 设为θ．则2223030303025102cos 5cos 33D F θθ⎛⎫⎛⎫'=+-⨯⨯=-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 1θ=时取等号． ∴D B '的最小值2106233⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．∴直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值6632BF D B ==='． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．（15）【2016年浙江，文15，4分】已知平面向量a ，b ，1a =，2b =，1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则a e b e⋅+⋅的最大值是 ． 【答案】7 【解析】a e b e a e b e ee⋅⋅⋅+⋅=+，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，当e 与a b +共线时，取得最大值．∴()22max27a e b ea b a b a b ⋅+⋅=+=++⋅=．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2016年浙江，文16，14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若2cos 3B =，求cosC 的值．解：（1）正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（2）2cos 3B =，∴25sin 1cos B B =-=．21cos cos22cos 19A B B ==-=-，245sin 1cos A A =-=．∴()2154522cos cos cos cos sin sin 3927C A B A B A B ⎛⎫=-+=-+=-⨯-+⨯=⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2016年浙江，文17，15分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，121n n a S +=+，*n N ∈．（1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和．解：（1）∵24S =，121n n a S +=+，*n N ∈．∴124a a +=，2112121a S a =+=+，解得11a =，23a =，当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S =+﹣，两式相减得()1122n n n n n a a S S a +==--﹣，即13n n a a +=，当1n =时，11a =，23a =，满足13n n a a +=，∴13n na a +=，则数列{}n a 是公比3q =的等比数列，则通项公式13n n a -=． （2）1232n n a n n ---=--，设1232n n nb a n n -=--=--，则013122b =--=，23221b =--=，当3n ≥时，1320n n --->，则1232n n n b a n n -=--=--，此时数列{}2n a n --的前n 项和()()()2913522351131322n n nn n n n n T --++---+=+-=-，2,12,13,23511,235112,32n n n n nn n T n n n n n n n ⎧⎪==⎧⎪⎪⎪===⎨⎨--+≥⎪⎪--+⎩⎪≥⎪⎩． 【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n }是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．（18）【2016年浙江，文18，15分】如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =． （1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值． 解：（1）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥；所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥．又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥．所以BF ⊥平面ACFD ． （2）∵BF ⊥平面ACFD ；∴BDF ∠是直线BD 和平面ACFD 所成的角；∵F 为CK 中点，且//DF AC ；∴DF 为ACK ∆的中位线，且3AC =；∴32DF =；又3BF =；∴在Rt BFD ∆中，921342BD =+=，3212cos 21DF BDF BD ∠===； 即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为21．【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．（19）【2016年浙江，文19，15分】如图，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -．（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．解：（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线1x =-的距离，抛物线定义得，12p=，即2p =．（2）由（1）得，抛物线方程为24y x =，()1,0F ，可设()2,2t t ，0t ≠，1t ≠±，∵AF 不垂直y 轴，∴设直线AF ：()10x sy s =+≠，联立241y x x sy ⎧=⎨=+⎩，得2440y sy --=．124y y =-，∴212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又直线AB 的斜率为221tt -，故直线FN 的斜率为212t t -，从而得FN ：()2112t y x t -=--，直线BN ：2y t =-，则2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设(),0M m ，由A 、M 、N 三点共线，得222222231t t t t t m t t +=+---， 于是22222111t m t t ==--，得0m <或2m >．经检验，0m <或2m >满足题意． ∴点M 的横坐标的取值范围为()(),02,-∞+∞．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．（20）【2016年浙江，文20，15分】设函数()311f x x x =++，[]0,1x ∈，证明：（1）()21f x x x -+≥；（2）()3342f x <≤． 解：（1）因为()311f x x x =++，[]0,1x ∈，且()()4423411111x x x x x x x ----+-==+--，所以41111x x x -≤++， 所以23111x x x x-≤-++，即()21f x x x ≥-+． （2）因为01x ≤≤，所以3x x ≤，所以()()()()31211113333111222122x x f x x x x x x x x -+=+≤+=+-+=+≤++++； 由（1）得，()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，且311119312224412f ⎛⎫⎛⎫=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()34f x >；综上，()3342f x <≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．。