k 1一、填空题2019 届杨浦区高三一模数学试卷1、设全集U = {1,2,3,4,5}，若集合 A = {3,4,5}，则C U A =π2、已知扇形的半径为 6，圆心角为 ，则扇形的面积为33、已知双曲线 x 2 - y 2= 1 ，则其两条渐近线的夹角为4、若(a + b )n展开式的二项式系数之和为 8，则 n =5、若实数 x , y 满足 x 2 + y 2= 1 ，则 xy 的取值范围是6、若圆锥的母线长l = 5(cm )，高 h = 4(cm )，则这个圆锥的体积等于 (cm 3)7、在无穷等比数列{a }中， lim (a + a+ ... + a) = 1 ，则 a 的取值范围是nn →∞ 12n218、若函数 f (x ) = ln 1+ x的定义域为集合 A ，集合 B = (a , a +1)，且 B ⊆ A ，则实数 a 的1- x 取值范围为2x9、在行列式 46 的零点是74x- 3 4 5 -1中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f (x ) ，则 y = 1+ f (x )10、已知复数 z 1 = cos x + 2 f (x )i ， z 2 =( 3 sin x + cos x )+ i （ x ∈ R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数 z 1 , z 2 对应的点分别为 Z 1, Z 2 ，若∠Z 1OZ 2 = 90，其中O 是坐标原点，则函数 f (x ) 的最小正周期11、当0 < x < a 时，不等式 1 x 2+ (a - x )2≥ 2 恒成立，则实数a 的最大值为12、设 d 为等差数列{a }的公差，数列{b }的前 n 项和T ，满足T + 1= (-1)nb （ n ∈ N * ），nnnn2nn且 d = a 5 = b 2 ，若实数 m ∈ P k = {x ak -2< x < ak +3 }（ k ∈ N *，k ≥ 3 ），则称 m 具有性质 P 。

若 H 是数列{T }的前 n 项和，对任意的 n ∈ N *，H都具有性质 P ，则所有满足条件的nn2n -1kk 的值为二、选择题13、下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是（）⎪ ⎪ A. f (x ) = arcsin xB. y = lg xC. f (x ) = -xD. f (x ) = cos x14、某象棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加一个象棋比赛，则选 出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（ ） 3322 A.B.C.D.105 5315、已知 f (x ) = logx ，θ∈⎛ 0,π⎫sin θ⎪ ⎝ 2 ⎭设 a = f ⎛ sin θ+ cos θ⎫ ，b = f ( sin θ⋅cos θ)，c = f ⎛ sin 2θ ⎫，则 a , b , c 的大小 ⎝ 2 ⎭⎝ sin θ+ cos θ⎭关系是（ ）A. a ≤ c ≤ bB. b ≤ c ≤ aC. c ≤ b ≤ aD. a ≤ b ≤ c16、已知函数 f (x ) = m ⋅ 2x+ x 2+ nx ，记集合 A = {x f (x ) = 0, x ∈ R }，集合B = {x f [ f (x )] = 0, x ∈ R }，若 A = B ，且都不是空集，则 m + n 的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [-1,4)C. [- 3,5]D. [0,7)三、解答题17、如图，PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，PA = AB = 1，AD = 2 ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动。

（1） 求三棱锥 E - PAD 的体积；（2） 证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AF ⊥ PE 。

18、在∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且cos B =5。

13（1） 若sin A =4 ，求cos C ；5→→（2） 已知b = 4 ，证明 AB ⋅ BC ≥ -519 、上海某工厂以 x 千克/ 小时的速度匀速生产某种产品， 每一小时可获得的利润是⎛5x +1- 3 ⎫ 元，其中1 ≤ x ≤ 10 。

⎪⎝x ⎭ （1） 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 20 元，求 x 的取值范围；（2） 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润。

ppMMPM20、如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线C ： y 2= 4x 上存在不同的两点 A , B ，满足 PA , PB 的中点均在抛物线C 上。

（1） 求抛物线C 的焦点到准线的距离； （2） 设 AB 中点为 M ，且 P(x , y )， M (x , y )，证明： y = y；（3） 若 P 是双曲线 x 2+ y 4= 1（ x < 0 ）上的动点，求∆PAB 面积的最小值。

21、记无穷数列的前 n 中最大值为 M ，最小值为 m ，令b =M n + m n ，其中 n ∈ N *。

（1） 若 an= 2n + cosn π，请写出b 的值；nn2n23（2） 求证：“数列{a n }是等差数列”是“数列{b n }是等差数列”的充要条件；（3） 对任意 n ，有 a n< 2018 ，且 b n = 1，请问：是否存在 K ∈ N * ，使得对于任意不小于 K 的正整数 n ，有b n +1 = b n 成立？请说明理由。

2⎝ ⎭ 参考答案： 一、填空题： 1、{1, 2} ；2、6π；3、π；4、3；5、 ⎡- 1 , 1 ⎤ ；6、12π；7、⎛ 0, 1 ⎫ ⎛ 1 ,1⎫ ；8、[-1, 0]； 2 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦2 ⎪ 2 ⎪9、 x = -1 ；10、π ；11、2；12、3 或 4； 二、选择题：13、C ；14、B ；15、D ；16、A ； 三、解答题： ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 17、【解析】（1）V= V= 1 ⋅ S ⋅ PA = 1 ⋅ ( 1 ⋅1⋅ 2) ⋅1 = 1； E - PADP - AED3 △AED 3 2 3（2）证明： PA ⊥ 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 PAB ， ∴ BC ⊥ AF ， PA = AB = 1 ，点 F 是 PB 的中点，得到 AF ⊥ PB 得到 AF ⊥ 平面 PCB ， ∴ AF ⊥ PE18、【解析】（1） sin A = 4 ， cos B = 5 ⇒ sin B = 12 ， sin A = 4< sin B ⇒ A < B5 13 13 5为锐角∴cos C = -cos ( A + B ) = -cos A cos B + sin A sin B = - 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 12 = 335 13 5 13 65 （2）证明： b = 4 ， cos B =5 , b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ≥ 2ac - 10 ac ⇒ ac ≤13 13 13 当且仅当 a = c 5时取到等号，∴ AB ⋅ BC = - AB ⋅ BC ⋅ cos B = - 13 ac ≥ -519、【解析】（1）生产该产品 2 小时的利润为= 2 ⎛5x + 1 - 3 ⎫ ，x ⎪ ⎝ ⎭由题意， 2 ⎛5x + 1 - 3 ⎫≥ 30 ，解得 x ≥ 3 或 x ≤ - 1 ，x ⎪ 5 ⎝ ⎭ 又1≤ x ≤10 ，所以3 ≤ x ≤ 10 ；（2）生产 900 千克该产品，所用的时间是 900小时，x获得的利润为⎛ 5x + 1 - 3 ⎫ ⋅ 900 = 900 ⎛ - 3 + 1 + 5⎫,1≤ x ≤10 ， x ⎪ x x 2 x ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭31 ⎛ 1 1 ⎫21 记 f (x ) = - x2 + x + 5,1≤ x ≤10 ，则 f (x ) = -3 x - 6 ⎪ + + 5 ，当且仅当 x = 6 时取到最大12值，最大利润为900 ⨯ 61= 4575 元，因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利12 润为 4575 元．20、【解析】（1）焦点 F (1, 0) ，准线l : x = -1，∴焦点到准线的距离为 2；【或由抛物线表达式 y 2 = 2 px ( p > 0) 中 p 的几何意义——焦点到准线的距离得到答案】2t 22 1 1 P P P P P P P P P P P P 2 P 1 1 1（2）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，且 y 1 ≠ y 2则 y =y 1 + y 2 ， PA , PB 的中点分别为( x P + x 1 , y P + y 1 ) ， ( x P + x 2 , y P + y2 ) ，M2 ⎧ y 2 = 4x 2 2 2 2 ⎪ 2 ⎧ y 2 = 4x ① ⎪ y 2 = 4x 21 1 ⎪ ⎪ y2 = 4x ② 由题意，得⎨( y P + y 1 )2 = 4( x P + x 1 ) ⇒ ⎨ 2 2⎪ 2 2 y 2+ 2 y y + y 2 = 8x + 8x ③ ⎪ y + y x + x ⎪ y 2 + 2 y y + y 2 = 8x + 8x ④ ⎪( P 2 )2 = 4( P 2 ) ⎩ P 2 P 2 P 2⎩ 2 2 ③ - ④ ，得 2( y - y ) y + y 2 - y 2 = 8x - 8x ，即 2( y- y ) y + y 2 - y 2 = 2 y 2 - 2 y 212P121212P1212⇒ 2( y - y ) y = y 2 - y 2 ⇒ 2( y - y ) y = ( y - y )( y + y )12P1212P1212∵ y ≠ y ，∴ y =y 1 + y 2= y ，得证；12P2M（3）由题意，得 y 2 = 4 - 4x 2(-1≤ x < 0) ，⎧⎪ y 2 = 4x ⎨y 2 + 2 y ⋅ y + y 2 = 8x + 8x ⇒ y 2 - 2 y y + 8x - y 2 = 0 ， ⎩⎪ P P P⎧∆ > 0则⎪ y + y = 2 y ， ⎨ 1 2 P ⎪ y y = 8x - y 2 ⎩ 1 2 P P∆ = 4 y 2 - 4(8x - y 2 ) = 8y 2 - 32x = 8(4 - 4x 2 ) - 32x = -32x 2 - 32x + 32 > 0 ，又-1≤ x P < 0 ，解得-1≤ x P < 0 ， S= 1 ⋅ x- x ⋅ y - y = 1 ⋅ x 1 + x2 - x ⋅ ( y + y )2 - 4 y y△PAB2 M P 122 2P 1 2 1 211 (y + y )2 - 2y y= x ⋅( y + y )2- 4 y y = ⋅ 1 2 1 2- x ⋅ ( y + y )2 - 4 y y2P1 2 1 2 2 8 P121 21 24(1 - x - x2 ) 3= ⋅ P P ⋅2 6 2 ⋅ (1- x - x 2 )2 2 8PP21 2 5t ∈ ⎡ 5 ⎤ 令t = 1 - x P - x P= -(x P + 2) + 4 ，∵ -1≤ x P < 0 ，∴ ⎢1, ⎥ ，⎣ ⎦S △PAB = 6 3⎡ 在t ∈ ⎢1, ⎣ 5 ⎤⎥ 上单调递增，∴ t = 1 时， S △PAB 取得最小值6 ．⎦P P P 2 P P21、【答案】（1）因为 a = 2n + cos n π，所以 a = 2 ， a = 3 ， a= 8 ．n 1 23所以 M = a = 8 ， m = a = 2 ，则b = M 3+ m 3= 5 ． 3 3 3 1 3 2（2）证明：（充分性）由数列{a n } 是等差数列，设其公差为 d 1 ．当 d 1 > 0 时， a n - a n -1 = d 1 > 0 ，所以 a n > a n -1 ，所以 M n = a n ， m n = a 1 ． 当 d 1 < 0 时， a n - a n -1 = d 1 < 0 ，所以 a n < a n -1 ，所以 M n = a 1 ， m n = a n ． 当 d 1 = 0 时， a n - a n -1 = d 1 = 0 ，所以 a n = a n -1 ，所以 M n = a n ， m n = a 1 ．综上，总有b n =a 1 + a n ．2所以b - b = a 1 + a n - a 1 + a n -1 = d 1，所以数列{b } 是等差数列．n n -1 2 2 2 n（必要性）由数列{b n } 是等差数列，设公差为 d 2 ．因为b - b=M n + m n - M n -1 + m n -1 = M n - M n -1 + m n - m n -1= d ． nn -12 2 2 22根据 M n ， m n 的定义，有以下结论：M n ≥ M n -1 ， m n ≤ m n -1 ，且两个不等式中至少有一个取等号当 d 2 > 0 时，则必有 M n ＞M n -1 ，所以 a n = M n ＞ M n -1 ≥ a n -1 ， 所以{a n } 是一个单调递增的数列，所以 M n = a 1 ， m n = a n ．所以b - b=a 1 + a n - a 1 + a n -1 = a n - a n -1= d ． nn -12 2 2 2所以 a n - a n -1 = 2d 2 ，数列{a n } 是等差数列．当 d 2 < 0 时，则必有 m n ＜m n -1 ，所以 a n = m n ＜m n -1 ≤ a n -1 ， 所以{a n } 是一个单调递减的数列，所以 M n = a n ， m n = a 1 ．所以b - b=a 1 + a n - a 1 + a n -1 = a n - a n -1= d ． nn -12 2 2 2所以 a n - a n -1 = 2d 2 ，数列{a n } 是等差数列．当 d < 0 时， b - b= M n - M n -1 + m n - m n -1 = 02nn -12 2因为 M n - M n -1 ， m n - m n -1 中必有一个为 0．i i +1 213243mm -1根据上式，一个为0，则另一个亦为0，所以 M n = M n -1 ， m n = m n -1 ，所以{a n } 为常数数列，所以{a n } 为等差数列． 综上，结论得证． （3）假设结论不成立．因为| b n |= 1，即b n = 1 或b n = -1．所以对任意 K ∈ N * ，一定存在i ≥ K ，使得b , b 符号相反所以在数列{b n } 中存在b k ,b k ,b k , ,b k ,b k , ，其中 k 1 < k 2 < k 3 < < k i <123ii +1所以 a k +1 - a k +1 ≥ 4a k +1 - a k +1 ≥ 4a k +1 - a k +1 ≥ 4…a k +1 - a k +1 ≥ 4所以 a k +1 - a k +1 ≥ 4(m - 1)m1mii所以 a k +1 ≥ a k +1 + 4(m - 1)所以 a 1010+1≥ a k +1 + 4(1010 - 1) ＞- 2018 + 4036 = 2018 ，这与 a n < 2018 矛盾，所以假设错误．所以存在 K ∈ N * ，使得对任意的 n ≥ K ，有b = b n ．kn +1。