线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于EFG ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC⊥．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA BC⊥．∴BC⊥平面APC．∵BC⊂平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADB OC证明：过A作AO⊥平面BCD于OAB CD CD BO⊥∴⊥，同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心于是BD CO BD AC⊥⇒⊥7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN AB⊥PND CA BM. 证：取PD中点E，则EN DC//12PE ND CA BM⇒EN AM //∴AE MN //又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A 'E ⊥FG∴A 'E ⊥BC设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A 'D 2=A 'E 2+ED 2-2•A 'E •EDcos60°=3a2∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2∴A 'D ⊥A 'E∴A 'E ⊥平面A 'BC10如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90︒, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。

求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析:①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。

②要证SC ⊥平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥AM , SC ⊥AN 。

要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。

证明:①∵SA ⊥平面ABC ∴SA ⊥BC 又∵BC ⊥AB , 且AB SA = A ∴BC ⊥平面SAB ∵AN ⊂平面SAB ∴AN ⊥BC ②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC 又∵AM ⊥SC , 且AM AN = A ∴SC ⊥平面ANM11已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可 证明：取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a 在RT ΔBPC 中，PB=PC=aBC=2a ∴PD=22a 在ΔABC 中 AD=22BD AB -A B CD FE G A'=22a ∵AD 2+PD 2=222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =a 2=AP 2∴ΔAPD 为直角三角形即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC∴AD ⊥平面PBC∴平面ABC ⊥平面PBC13 以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 于A ，C 在圆上，连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，试判断图中还有几组线面垂直。

ABCPE F解：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥PC AF BC AF PAC AF PAC BC BC AC AB BC PA BC PA 面面为直径αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥⇒PB PB AE PB AF PBC AF 面面AEF［例1］ 如图9—39，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．【证明】∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ， 则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22a ，AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．［例2］如图9—40，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．图9—40（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA=BC ，求二面角A —SC —B 的大小．（1）【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ， 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ， ∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．（2）【解】∵SA ⊥平面ABC ，∴平面SAB ⊥平面ABC ，又平面SAB ⊥平面SBC ，∴∠SBA 为二面角S —BC —A 的平面角， ∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a ，作AE ⊥SC 于E ，连EH ，则EH ⊥SC ，∴∠AEH 为二面角A —SC —B 的平面角，而AH=22a ，AC=2a ，SC=3a ，AE=36a∴sin ∠AEH=23，二面角A —SC —B 为60°．【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．［例3］如图9—41，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD （1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ， ∴∠PDA=45°（2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CD AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ． ∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ．【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围．［例4］如图9—42，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．图9—42（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值．（1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ⊂平面MNF ，∴平面MNF ⊥平面ENF ．（2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影，∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求得MN=22a ，NH=33a ，∴tan ∠MHN=26=NHMN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26．［例5］在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C ．【证明】如图9—43，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，图9—43∴EF ∥AC ．∵AB 1=CB 1，O 为AC 的中点．∴B 1O ⊥AC ．故B 1O ⊥EF ．在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO=1．∴∠BB1O=30°，从而∠OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=21OB1=1（O1为BO与EF的交点）∴△D1B1O1是直角三角形，即B1O⊥D1O1，∴B1O⊥平面D1EF．又B1O⊂平面AB1C，∴平面D1EF⊥平面AB1C．1．棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____．【解】过A1作A1G⊥C1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，∴A1G⊥平面D1C，连结CG，∠A1CG即为A1C与侧面DCC1D1所成的角．∵A1G= A1 D1·sin∠A1 D1 G=2sin60°=2·23=3而AC=︒⋅⋅-+120cos222BCABBCAB=32)21(2222222=-⨯⨯⨯-+∴A1C=4124221=+=+ACAA，∴sin∠A1CG=4311=CAGA．【答案】432．E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____．【解析】设正方形的边长为2a．则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠DOB=21222622222-=⋅⋅-+aaaaa∴∠DOB=120°3．如图9—44，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成3π的角，侧面ABB1A1垂直于底面，图9—44（1）证明：B1C⊥C1A．（2）求四棱锥B—ACC1A1的体积．（1）【证明】过B 1作B 1O ⊥AB 于O ，∵面ABB 1A 1⊥底面ABC ，面AB ABC A ABB 11=面 ∴B 1O ⊥面ABC ，∴∠B 1BA 是侧棱与底面所成角，∴∠B 1BA=3π，又各棱长均为2，∴O 为AB 的中点，连CO ，则CO ⊥AB ，而OB 1∩CO=O ，∴AB ⊥平面B 1OC ，又B 1C ⊂平面OB 1C ，∴B 1C ⊥AB ，连BC 1，∵BCC 1B 1为边长为2的菱形，∴B 1C ⊥BC 1，而AB ∩BC 1=B ， ∴B 1C ⊥面ABC 1∵A 1C ⊂面ABC 1∴B 1C ⊥AC 1（2）【解】在Rt △BB 1O 中，BB 1=2，BO=1，B 1O=3，V柱=Sh=43·4·3=3，∴111C B A B V -=31V柱=1，CC AA B V 11-=V 柱－111C B A B V-=3－1=24．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．图9—45（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角， ∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC ∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ， ∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．5．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=23，E 、F 分别为棱CC 1、BB 1上的点，且满足EC=BC=2FB ．图9—46（1）求证：平面AEF ⊥平面A 1ACC 1；（2）求异面直线EF 、A 1C 1所成角的余弦值．（1）【证明】∵菱形对角线AC=2，BD=23∴BC=2，EC=2，FB=1，取AE 中点M ，连结MF ，设BD 与AC 交于点O ，MO21ECFB ⇒平面AEF ⊥平面ACC 1A 1（2）在AA 1上取点N ，使AN=2，连结NE ，则NEACA 1C 1故∠NEF 为异面直线A 1C 1与EF 所成的角，连结NF ，在直角梯形NABF 中易求得NF=5，同理求得EF=5．在△ENF 中，cos ∠NEF=55522543=⋅⋅-+，即EF 与A 1C 1所成角的余弦值为55．【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．【拓展练习】 一、备选题1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝21a ，EC ＝a ．（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′∴B′M⊥平面A′ACC′．设MN交AE于P，∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2 a．又DB＝21a，∴PN＝BD．∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝23a，AE＝2a．∴S△ADE＝21×AE×PD＝21×246232aaa=⨯．。