P(z)= 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30 时，t§ 1.4 常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，ZH X ：的i分布称为自由度等于 n 的2分布，记作Z 〜2(n),它的分旳=石。
•/ 2分布是非对称分布'具有可加性'即当Y 与Z 相互独立，且 Y 〜 2(n), Z 〜 2(m)，贝U Y+Z 〜 2(n+m)。
证明：先令X i 、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y =X 2+X 2+…+X 2, z=x n 1 +X n 2+…+X n m ，即可得到 Y+Z 〜2(n+m) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X 〜N(0,1) , Y 〜2 (n)，贝U Z = X 丫的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z 〜t (n)，它的分布密度布密度式中的.=0称为Gamma®数，且 ■ 1 =1, Y+Z= X+X■+1 2 n P ( z 0 其他, n .n -(n )分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。
3. F 分布若X 与Y 相互独立，且X 〜2(n)，丫〜2(m), 则Z= X 丫的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于n mm 的F 分布，记作 Z 〜F (n, m),它的分布密度n-iz2 -,z 0 n m 2 20, 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 Z 〜F (n, m)时，—〜F (m ,n) Z4. t 分布与F 分布的关系12；Y=X 2 的分布函数 F Y (y ) =P{YV y }=P{X 2<y } 当尸 0 时，F Y (y)=0, p Y (y )=0 ;当 y >0 时，F y (y ) =P{- y <X< y }=_； p(x)dx =2 0 p(x)dx , p(z)= (m n z) 2 其他。
若 X 〜t( n )，则 Y=X 〜F(1, n ) o证：X 〜t( n ) , X 的分布密度 P(x )= < 2丿 2与第一自由度等于 1、第二自由度等于 n 的 F 分布的分布密 度相同，因此Y=X 2〜F （1, n ）。
为应用方便起见， 以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。
但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。
有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的 需要，有三种不同的称呼，即 a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：当随机变量X 的分布函数为 F （X ），实数a 满足0 <a <1 时， a 分位数是使 P{X< x a }=F （x a ）=a 的数 x a ，上侧a 分位数是使P{X >入}=1 - F （入）=a 的数入,双侧a 分位数是使 P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入仆使 P{X> 入 2}=1 - F （入 2）=0.5 a 的数入 2。
因为1- F （入）=a , F （入）=1- a ,所以上侧a 分位数入就是 1- a 分位数 X 1- a ；F （入1）=0.5 a , 1- F （入2）=0.5 a ，所以双侧a 分位数入1就 是0.5 a 分位数X 0.5 a ,双侧a 分位数入2就是1- 0.5 a 分位 数 X 1-0.5a 。
2）标准正态分布的 a 分位数记作 u a ， 0.5a 分位数记作 u 0.5a ， 1- 0.5a 分位数记作 u 1- 0.5a 。
P (x) P (x)Y=X 2的分布密度nn21-1 y2 1 n p Y (y)=F ・ 2 2 (n y) 2J £ O x当 X 〜N(0,1)时，P{XV U a }=F o,i (U a )= a, P{X<U 0.5 a }= F 0,1 (U 0.5 a )=0・5 a ,P{X<U i- 0.5 a }= F 0,1 (U 1-0.5a )=1 - 0・5a 。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0・5 时，U a =0 ；当 a <0.5 时，u a <0。
u a =- u 1- a 。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出u 仁a ,然后得到u a =- U 仁a 。
论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< u a }= F 0,1(u a )= a , P{X< u 1- a }= F 0,1 (u 1- a )=1- a ,P{X> u 1- a }=1- F 0,1 (u 1- a )= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u a =- u 1- a o 例如， u 0.10=- u 0.90=-1.282,u =- ■ u =- 1.645,u 0.01 = - ■ u 0.99 = - 2.326,u 0.025 :-u =-1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。
又因为P{|X|V U i-o.5a }=1- a，所以标准正态分布的双侧a分位数分别是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。
标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10 , u 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645;a =0.01 , u 0.99=2.326 ;a =0.025 , u 0.975=1.960 ;a =0.005 , u 0.995=2.576。
3)卡平方分布的a分位数记作2a (n)。
2a (n)>0 ,当X 〜2(n)时，P{X< 2a (n)}= a。
例如，20.005 (4)=0.21 , 20.025 (4)=0.48 ,20.05 ⑷=0.71 , 20.95 (4)=9.49 ,20.975(4)=11.1 , 20.995 (4)=14.9。
4) t分布的a分位数记作t a(n)。
当X〜t (n)时，P{XVt a (n)}= a，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n)=- t 1- a (n)，论述同U a =- u 1- a o 例如，t o.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4)=2.776 , t 0.995 (4)=4・604, t 0.005 (4)= -4・604, t0.025 (4) =- 2.776, t 0.05 (4)=- 2.132。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t a(n)，可用u a作为t a(n)的近似值。
o X O XX o x5) F分布的a分位数记作F a(n , m)。
F a (n , m)>0,当X〜F (n , m)时，P{X<F a (n , m)}= a。
另外，当a较小时，在表中查不出 F a(n, m),须先查1 、”、「一F i- a (m, n)，再求F a (n, m)= 。
论述如下：Fi_«(m , n )当X 〜F(m, n)时，P{Xv F 1- a(m, n)}=1 - a,11 11卩{丄＞}=1- a ,卩{丄＜}= a , X F 1 -a (m,n) X F1 -:又根据F分布的定义，—〜F(n, m), P{ —＜F a(n, m) }= a , XX1因此F a (n, m)= ——F^(m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=9.98 ,F 0.99(3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975 (4,3)=15・4 , F 0.99 (4,3)=28・7,1 1 1F 0.01 (3,4)= —, F 0.025 (3,4)= —, F 0.05 (3,4)=—-28.7 15.1 9.12【课内练习】1. 求分位数①20.05(8),②20.95(12)。
2. 求分位数①t 0.05(8),②t 0.95(12)3. 求分位数①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。
4. 由u 0.975=1・960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X 〜2(4), P{XV0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。
7. 若X 〜F(5,3) , P{X<9.01}=0.95 , Y 〜F(3,5), {Y<5.41}= 0.95,试写出有关的分位数。
8. 设X i、X 2、…、X io相互独立且都服从N(0,0.09)分布, 试求P{\ 2>1.44}。
X ii习题答案：1.①2.73,②21.0。
2.①-1.860,② 1.782。
3.①丄，②3.37。
4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.9604.88为双侧0.05分位数。
5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数。
6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。
7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，丄与5.41为双侧0.1分位数，丄与9.01 5.419.01为双侧0.1分位数。
8. 0.1。