布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。

2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。

Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。

2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。

”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。

这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。

请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。

4. t 分布与F 分布的关系若 X 〜t(n ),贝y Y=X 2〜F(1, n )。

证：X 〜t(n), X 的分布密度p(x)=———佑严卫Y =X 2的分布函数 F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。

Y=X 1 2的分布密度 P Y （y ）= 当厂0 时，F Y （y ）=o, P Y （y ）=o ; 当 y >0 时，F Y （y ） =P{- y vxv y }=_yy p （x ）dx =2 o yp （x ）dx ,V ny2与第一自由度等于 1、第二自由度等于n 的F 分布的分布密o度相同，因此Y=X 〜F(1, n )为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。

但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。

有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1) 分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：当随机变量X 的分布函数为 F(x )，实数a 满足0 <a <1 时，a 分位数是使P{X<x a }=F( x a )= a 的数X a , 上侧a 分位数是使P{X >入}=1 - F(入)=a 的数入,双侧a 分位数是使P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入1、使 P{X>入2}=1 - F（入2）=0.5 a 的数入2。

因为1- F（入）=a , F（入）=1 - a,所以上侧a分位数入就是1 - a分位数X 1 - a；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a，所以双侧a 分位数入1 就是0.5 a分位数X 0.5 a ,双侧a分位数入2就是1- 0.5 a 分位数X 1-0.5 a。

2）标准正态分布的a 分位数记作U a, 0.5 a分位数记作u 0.5 a，1- 0.5 a 分位数记作 U 1- 0.5 a。

P(x) p(x)X o X当 X 〜N(0,1)时，P{X<U a }=F 0,1 (u a )= a ,P{X<U 0.5 a }= F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a ,P{X<U 1- 0.5 a }= F 0,1 (U 1-0.5 a )=1 - 0.5 a。

根据标准正态分布密度曲线的对称性，当a =0.5 时，u a=0 ；当a <0.5 时，u a<0。

u a =- u 1- a。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出U 1- a ,然后得到U a=- U 1- a。

论述如下：当 X〜N(0,1)时，P{XV U a }= F 0,1 (u a )= a , P{X< u 1- a }= F 0,1 (u 1- a )=1- a ，P{X> u 1- a }=1- F 0,1 (u 1- a )=a ，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u a =- u 1- a 。

例如， u 0.10 = - u 0.90 = - 1.282 ，u 0.05 =- u 0.95 =- 1.645 ，u 0.01 = - u 0.99 = - 2.326 ，u 0.025 =- u 0.975 =- 1.960 ，u 0.005 =- u 0.995 =- 2.576 。

又因为 P{|X|< u 1- 0.5a }=1- a ，所以标准正态分布的双侧a 分位数分别是 u 1- 0.5a 和 - u 1- 0.5 a 。

标准正态分布常用的上侧a 分位数有：a =0.10 ，u 0.90 = 1 . 282 ；a =0.05 ，u 0.95=1.645 ；a =0.01 ，u 0.99 =2.326 ；P (x)a =0.025 , u 0.975 =1.960 ; a =0.005 ,u 0.995 =2.576 。

3) 卡平方分布的a 分位数记作2a (n)。

2a (n)>0，当 X 〜2(n)P{X<2a时，(n)}= a0 上侧分位数蛊 O |羽酚位救牙例如，450.005 (4)=0.21 ,20.025 (4)=0.48 ,4 t 分布的a 分位数记作t a (n)。

当X 〜t (n)时，P{X<t a (n)}= a ，且与标准正态分布相类20.05 (4)=0.71 , 60.95 ⑷=9.49 ,20.975 7=11.1, 20.995 (4)=14.9。

例如，t0.95 ⑷=2.132, t 0.975 (4)=2.776 ,t 0.995 (4)=4.604 , t 0.005 (4)= - 4.604 ,t0.025 (4)= - 2.776 , t0.05 ⑷二-2.132。

另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t a (n)，可用u a作为t a(n)的近似值。

o x O XX o x5) F分布的a分位数记作F a(n , m)oF a (n , m)>0 ,当 X〜F (n , m)时，P{X<F a (n , m)}= a。

似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n)=- t !- a (n)，论述同U a =-U1-a。

另外，当a较小时，在表中查不出 F a (n, m),须先查1F1- a(m, n),再求 F a(n, m)= - 。

论述如下：F1_«(m , n )当 X〜F(m, n)时，P{X< F 1- a(m, n)}=1 - a ,1 1 1 1卩{丄> —}=1- a , P{」< —}= a , X F v： (m, n) X F v： (m, n)1 1又根据F分布的定义，一〜F(n, m), P{ <F a (n, m) }= a,X X1因此 F a(n, m)=-Fig , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=9.98 ,0.99 (3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7 ,1 1 10.01 (3,4)=二,F0.025 (3,4)=二,F0.05 (3,4)=需。

28.7 15.1 9.12【课内练习】1•求分位数① 20.05 (8)，②20.95 (12)。

2. 求分位数① t 0.05 (8)，② t 0.95 (12)。

3. 求分位数① F0.05 (7,5)，② F0.95 (10,12)。

4. 由u 0.975 =1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

5. 由t 0.95 (4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6. 若X 〜2 (4), P{X<0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。

7. 若X 〜F(5,3) , P{X<9.01}=0.95 , 丫〜F(3,5) , {Y<5.41}=0.95，试写出有关的分位数。

8. 设X1、X2、…、X10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布，试求 P{' xf >1.44}。

i习题答案：1.①2.73，② 21.0。

2.①-1.860，② 1.782。

3.① 丄，②3.37。

4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。

5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132 与2.132为双侧0.1分位数。

6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49 为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。

7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，為与5.41为双侧9.010.1分位数，丄与9.01为双侧0.1分位数。

8. 0.1。

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