到 的映射：
，且它满足
（i）
（ii）
（iii）完全可加性：
称这样的P为可测空间 (, F ) 上的一个概率测度 ， 简称为概率，(, F , P) 称为概率空间.
性质（iii）也称为可列可加性.
数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提， 这些前提规定了所讨论的对象的一些基本关系和所满足的 条件，然后以之为基础，推演出所讨论的对象的进一步的 内容.几何学就是一个典型例子.成功地将概率论实现公理化 的是现代苏联大数学家柯莫哥洛夫.值得赞赏的不止在于他 实现了概率论的公理化，还在于他提出的公理为数很少且 极为简单，而在这么一个基础上建立起了概率论的宏伟大厦.
它具有可列可加性的充要条件为： （i） 它是有限可加的；
（ii） 它是下连续的. 分析 即要证明
其中 Ai 互不相容，{Sn}为单调不减的集序列，即 Sn ­ . n
U 提示 因为 Sn ­ , 故 Sn = (Si - Si- 1), 其中S0 = ? ,
某些子集构成的集合族，并且还应满足下面的条件：
(i) F ;
(ii) 如果 A F ，那么 A F ;;
(iii) 如果 Ai F ，i 1, 2, ,那么 Ai F ;;
i 1
称满足上述条件的集合族为 域，也称 -代数.
F 中的元素称为事件，也称 F 为事件域.称为必
然事件， 称为不可能事件.
2) P(B A) P(B) P( AB)
第一章 随机事件和概率
加法公式的推广（多除少补原理）
对任意n 个事件 A1, A2 , , An , 有
P n
Ai
n
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
i1 i1
PAi Aj PAi Aj Ak
1 i jn
1 i jk n
1 n1 PA1 A2 An
我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干
样本点，事件A发生当且仅当A 所包含的样本点中有 一个发生.
一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将
对给定概率带来困难.同时，又必须把问题中感兴趣 的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该 为事件，也应该有相应的概率.
于是，我们把事件的全体记为 F ，它是由 的
提示：可用归纳法证明
推论 （次可加性）
对任意 n 个事件 A1, A2 , L ,
U P
n
Ai
n
P Ai
i1 i1
An , 有
利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路 清晰，计算便捷.
例5（匹配问题） 某人写好 n 封信，又写好 n 只信封，
然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少
有一封信放对的概率.（1708年为Montmort所解决，后
由Laplace等人推广）
解 若以 Ai 记第i 封信与信封符合，则所求的事件为
A1 A2
An 不难求得
P( Ai
)
(n 1)!, n!
(n 2)!
P( Ai Aj )
, n!
P( Ai
Aj
Ak
)
(n
3)!, n!
1 , P( A1A2 An ) n!
性质 4 P(A) 1
第一章 随机事件和概率
性质 5 P( A) 1 P( A) ;
性质 （6 一般加法公式） P(A B) P(A) P(B) P(AB)
重要推广
1) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P( AC) P(BC ) P( ABC )
因此 P( A1 A2
An
)
Cn1
1 n
Cn2
n
2!
n!
Cn3
n
3!
n!
(1)n1 1 n!
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
二、概率的可列可加性与连续性
定义1 若 An F , n 1, 2, 且 An An1 ，则An是F
中的一个单调不减的集序列.
若 An F , n 1, 2, 且 An An1，则 An是F
中的一个单调不增的集序列.
定义2 对于 F 上的集合函数 P()，若它对 F 中任何一 个单调不减的集序列 {An}均有：
lim
n
P( An )
P(lim n
An )
成立，则我们称它是下连续的.
（1）
若（1）式对 F 中任何一个单调不增的集序 列 {An} 均成立，则我们称它是上连续的.
定理 若 P 为 F 上满足 P() 1的非负集合函数，则
很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事 件域中，事件的有限及可列交、并以及差也都在事件 域中.
例1 F {, } 为一 -代数.
例2
为一 -代数.
例3 {1, ,n}, F 是由 的一切子集构成.
这时，F 是一个有限的集合，共有元素2n 个.
F 为一 -代数.
例4 对于一般的 ，若 F 由 的一切子集构成，
第一章 随机事件和概率
前面讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件 之间的运算也就是集合运算.
但是，并没有对事件的集合进行限制. 对于事件，一 个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、交 、余这三种运算封闭.
前苏联学者柯尔莫哥洛夫于1933年在《概率论基 础概念》一书中，用公理化的方法与集合论的观点 成功地解决了这一问题，提出了概率空间的概念.
第一章 随机事件和概率
概率测度P的性质与推广:
性质 1 P() 0 ;反之不然！
性质 （2 有限可加性）若A1, A2, , An是两两互不相容事件,则 P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An)
性质（ 3 减法公式）若A B ，则有 P(B A) P(B) P( A)， 且P(B) P( A)
第一章 随机事件和概率
§1.3 概率的公理化定义 概率空间
一、概率空间及其三要素 1、样本空间
2、 F 与可测空间
3、概率P与概率空间
二、概率的可列可加性与连续性
三、概率空间的实际例子
一、概率空间及其三要素
1、样本空间
是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称
为样本点，相应于随机试验的结果.
2、 F 与可测空间
可以验证 F 为一 -代数.
注 事件域可以很简单，也可以十分复杂，要根 据问题的不同要求来选择适当的事件域.
把任一样本空间，以及由的子集所组成的一个
-代数F x写在一起，记为 ，F ，称为具有 -代数
结构的样本空间，简称为 可测空间
3、概率P与概率空间
概率P 为定义在事件域 上的函数，即它是一个从