2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的集合类.如果ℱ满足：
(1) Ω∈ℱ；
(2)若A ∈ℱ，则对立事件A ∈ℱ；
(3)若A n ∈ℱ,n =1,2,…，则可列并⋃A n ∞n=1∈ℱ.
则称ℱ为一个事件域，又称为σ代数.
在概率论中，又称(Ω,ℱ)为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈ℱ，定义在ℱ上的一个实值函数P(A)满足：
(1)非负性公理 若A ∈ℱ，则P (A )≥0；
(2)正则性公理 P (Ω)=1；
(3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有
P (⋃A i ∞i=1)=∑P (A i )∞
i=1
则称P(A)为事件A 的概率，称三元素(Ω,ℱ,P)为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X(ω)称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称
F (x )=P(X ≤x)
为随机变量X 的分布函数.且称X 服从F (x )，记为X~F (x ).
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x 有
F (x )=∫p(t)dt x −∞
则称X 为连续随机变量，称p(x)为X 的概率密度函数，简称为密度函数. 密度函数的基本性质
(1)非负性 p (x )≥0；
(2)正则性 ∫p(x)dx +∞−∞=1.
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义 3.1.1 如果X 1(ω),…,X n (ω)定义在同一个样本空间Ω={ω}上的n 个随机变量，则称
X (ω)=(X 1(ω),…,X n (ω))
为n 维(或n 元)随机变量或随机向量.
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 对任意的n 个实数x 1,…,x n ，则n 个事件{X 1≤x 1},…,{X n ≤x n }同时发生的概率
F (x 1,…,x n )=P(X 1≤x 1,…,X n ≤x n )
称为n 维随机变量(X 1,…,X n )的联合分布函数.
3.4 多维随机变量的特征数
3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵
定义3.4.3 记n 维随机向量为X =(X 1,…,X n )′，若其每个分量的数学期望都存在，则称
E (X )=(E(X 1),…,E(X n ))′
为n 维随机向量X 的数学期望向量，简称为X 的数学期望，而称
E [(X −E (X ))(X −E (X ))′]=[Var(X 1)Cov(X 1,X 2)…Cov(X 1,X n )
Cov(X 2,X 1)Var(X 2)…Cov(X 2,X n )…………Cov(X n ,X 1)Cov(X n ,X 2)…Var(X n )
] 为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为Cov(X).
例 3.4.12(n 元正态分布) 设n 维随机变量X =(X 1,…,X n )′的协方差阵为B =Cov(X)，数学期望向量为a =(a 1,…,a n )′.又记x =(x 1,…,x n )′，则由密度函数
p (x 1,…,x n )=p (x )=1
(2π)n 2(detB)12
exp (−12(x −a )′B −1(x −a))
定义的分布称为n元正态分布，记为X~N(a,B).
第四章大数定律与中心极限定理
4.1 特征函数
4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设X是一个随机变量，称
φ(t)=E(e itX),−∞<t<+∞
为X的特征函数.设p(x)是随机变量X的密度函数，则
φ(t)=∫e itx p(x)
+∞
−∞
dx
4.2 大数定律
4.2.1伯努利大数定律
定理4.2.1(伯努利大数定律) 设μn为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有
lim n→+∞P{|
μn
n
−p|<ε}=1
4.2.2 常用的几个大数定律
4.3 随机变量序列的两种收敛性
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1(依概率收敛) 设{Y n}为一随机变量序列，Y为一随机变量，如果对任意的ε>0，有
lim
n→+∞
P{|Y n−Y|<ε}=1
则称{Y n}依概率收敛于Y，记作Y n P
→Y.
4.4 中心极限定理
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设{X n}是独立同分布的随机变量序列，
且E(X i)=μ,Var(X i)=σ2>0.记
Y n∗=X+⋯+X−nμ
σ√n
则对任意实数y有
lim n→+∞P(Y n∗≤y)=Φ(y)=
1
√2π
e−
t2
2
y
−∞
dt
第五章统计量及其分布
第六章参数估计
第七章假设检验
第八章方差分析与回归分析。